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*5.5特殊群特殊群主要有三类：交换群、循环群、变换群（置换群）*交换群（阿贝尔群）定义5.5.1若群G,?中的运算“?”满足交换律，则称G,?是一个交换群（阿贝尔（Abel）群）。由于加法运算“+”满足交换律，因此群Z,+，R,+，Q,+，C,+都是交换群。*定理5.5.1设G,*是一个群，则G,*是交换群的充分必要条件是：对a,b∈G，有(a*b)2=a2*b2。证明必要性对a,b∈G，由于“*”可交换，所以有(a*b)2=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a?(a?b)*b=(a*a)*(b*b)=a2*b2。*定理5.5.1（续）充分性对a,b∈G，若有(a*b)2=a2*b2，则(a*b)2=(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)，因此，a*(b*a)*b=a*(a*b)*b，由消去律知：b*a=a*b，所以，运算“*”满足交换律，即G,*是交换群。*循环群定义5.5.2在群G,?中，若存在元素g∈G，使得对?a∈G，都有：a=gi（i∈Z，Z为整数集合），则称G,*为循环群，记为G=g(或G,*=g)，并称g为该循环群的一个生成元。G的所有生成元的集合称为G的生成集。计算群的生成元是判别一个群是否是循环群的关键。*定理5.5.2每个循环群都是阿贝尔群。证明设g∈G是循环群G,*的生成元，对n，m∈G，存在x，y∈Z，有n=gx，m=gy，则n*m=gx*gy=gx+y=gy+x=gy*gx=m*n，所以，循环群G,*是阿贝尔群。*例5.5.1证明整数加法群Z,+是循环群，并求其所有的生成元。分析不妨设a∈Z是生成元，则由生成元的定义，对n∈Z，存在k∈Z，使得n=ak=ka，特别取n=1，则有1=ak，又a,k都是整数，所以必然有a=1，或a=-1。以上说明，如果a是生成元，则a必须是1或者-1，因此，还需进一步验证?1是否是Z，+的生成元。*例5.5.1（续）证明因为对n∈Z，有n=1+1+…+1=1n，n=1+1+…+1=(?1)?1+(?1)?1+…+(?1)?1=((?1)?1)n=(-1)(-n)，所以?1是生成元，故Z,+是循环群，其生成集为{-1,1}。*结论判别群是否是循环群主要就是计算生成元，而计算生成元有两步：①、假设生成元存在，并根据定义计算它；②、验证计算的结果是否是生成元，如果是，则该群是循环群。*例5.5.2证明群Nn,+n(n∈Z+)是循环群，并求出生成集。证明设a是生成元，则对m∈Nn，存在k∈Z，使得m=ak=ka(modn)，特别取m=1，则有1=ka(modn)，即存在s∈Z，使得ns+ka=1，所以有(a,n)=1，即a与n互质。*例5.5.2(续）这说明，如果a是生成元，则有a与n互质。反之，如果(a,n)=1，则?s,t∈Z，有ns+ta=1，即1=ta(modn)，所以有1=at(t∈Z)，*例5.5.2（续）则对m∈n，有m=1m=(at)m=atm(tn∈Z)，故a是生成元。因此a是生成元的充要条件是(a,n)=1。群Nn,+n的生成集为M={a|(a∈n)∧((n,a)=1)}，显然1∈M，所以1是Nn,+n的生成元，即对m∈n，m=1m，故Nn,+n是循环群。*结论（1）群Nn,+n是一个循环群，其生成集为M={a|(a∈n)∧((n,a)=1)}；（2）素数阶的循环群Nn,+n，除幺元以外的一切元素都是群Nn,+n的生成元。*两类循环群G=g是循环群，根据生成元g的周期，可得两类循环群：（1）当g的周期无限时，g是无限阶循环群，则g={gk|k∈Z；若i≠j，则gi≠gj}；（2）当g的周期有限时，g是有限阶循环群，若g的周期为n，则有g={e,g,g2,g3,…,gn-1}。*结论（1）无限循环群有且仅有两个生成元；（2）阶为素数的循环