北师大版数学八年级下册同步讲义第一章第04讲 线段的垂直平分线和角平分线(8类题型讲练)（原卷版）.docx

第04讲线段的垂直平分线和角平分线(8类热点题型讲练)

1.理解线段垂直平分线，角平分线的概念；

2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；

3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算；

4.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线；

5.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.

知识点01线段的垂直平分线

知识点02角的平分线

题型01线段的垂直平分线的性质

【例题】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，，D为的中点．

(1)求证：

(2)若，则

【变式训练】

1．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点．

??

(1)若的周长为，求的长；

(2)若，求的度数．

2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在中，垂直平分，交于点F，于点D，，连接．

(1)若平分，求的度数；

(2)若的周长为，，求的长．

题型02线段的垂直平分线的判定

【例题】如图，中，，连接为是上一点且．

(1)求证：垂直平分．

(2)已知求的面积．

【变式训练】

1.如图，为等边三角形，，，相交于点E．

(1)求证：垂直平分；

(2)求的长；

(3)若点F为的中点，点P在上，则的最小值为______．（直接写出结果）．

2.如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．

(1)求证：；

(2)过点A作，交延长线于点，交于，连接．

①若，则．

②求证：垂直平分．

题型03线段的垂直平分线的实际应用

【例题】如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(???)

A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点

C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点

【变式训练】

1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（????）

A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点

C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点

题型04线段的垂直平分线的尺规作图

【例题】如图，已知在中，．

??

(1)用尺规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)边的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若的周长是10，求．

【变式训练】

1．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等你能找到这个监控安装的位置吗？（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）

2．如图，已知点、点以及直线．

(1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；

(2)在（1）中所作的图中，连接，若，过点作于点，过点作于点．求证：

题型05角平分线的性质定理

【例题】（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图平分，，垂足分别为E、F，且．

(1)求证：；

(2)若，求的长．

【变式训练】

1．（2023上·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，，点E是的中点．平分．

??

(1)求证：是的平分线；

(2)已知，，求四边形的面积．

2．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，，垂足分别为E、F．

(1)求证：；

(2)若，则的周长______．

题型06角平分线的判定定理

【例题】如图，，两点分别在射线，上，点在的内部且，，，垂足分别为，，且．

(1)求证：平分；

(2)如果，，求的长．

【变式训练】

1．如图，于E，于F，若．

??

(1)求证：平分；

(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．

2．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．

??

(1)求证：是的平分线；

(2)若，，．求的长．

题型07角平分线性质的实际应用

【例题】三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（????）

A．三条高的交点 B．三条中线的交点

C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点

【变式训练】

1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（????）

??

A．个 B．个 C．个 D．个

题型08作角平分线（尺规作图）

【例题】已知：如图，在中，，．

??????

(1)求作的平分线，交于点