2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷附答案解析.docx

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2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷

本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1.若集合，，则满足的实数a的个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

2.设，则（）

A.1 B. C. D.

3.若的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）

A.54 B. C.108 D.

4.已知，，，则（）

A B. C. D.

5.已知都是锐角，，则（）

A. B. C. D.

6.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）

A. B. C. D.

7.已知数列是正项数列，且，则（）

A.216 B.260 C.290 D.316

8.已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（）

A.外接圆的半径为

B.若的平分线与交于，则的长为

C.若为的中点，则的长为

D.若为的外心，则

10.在直三棱柱中，，，E、F分别是、中点，D在线段上，则下面说法中正确的有（）

A平面

B.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为

C.若D是的中点，若M是的中点，则F到平面BDM的距离是

D.直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为

11.已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（）

A.直线与抛物线C相切 B.

C.若P是线段的中点，则 D.存在直线l，使得

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12已知中，，，，则___________.

13.甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____

14.已知函数，则关于的不等式的解集为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.某同学参加射击比赛，每人配发颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得分，击中外环得分，脱靶得分.该同学每次射击，脱靶的概率为，击中内环的概率为，击中外环的概率为，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.

（1）若已知该同学得分为分的情况下，求该同学只射击了发子弹的概率；

（2）设该同学最终得分为，求的分布列和数学期望.

16.如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的平面角的正切值．

17.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明不等式恒成立.

18.如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为．

（1）求的值；

（2）求出an

（3）设曲线在点处的切线斜率为，求证：．

19.已知双曲线离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.

（1）求的方程；

（2）证明：直线恒过定点；

（3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.

2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷

1.若集合，，则满足的实数a的个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用，知，求出的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．

【详解】因为，所以，

即或者，解之可得或或，

当时，，符合题意；

当时，，符合题意；

当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。

所以实数a的个数为2个.

故选：B

2.设，则（）

A.1 B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.

【详解】因为，所以.

故选：C

3.若的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）