新教材高中数学 空间向量的应用1.4.2第1课时距离问题学案新人教A版选择.pdfVIP

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时距离问题

学习任务核心素养

1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互

平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．(重

空间中点、线、面距离的相互转化,培养

点)

直观想象和数学运算素养.

2.能描述解决距离问题的程序,体会向量方法在研

究几何问题中的作用．(难点、易混点)

立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通,而且成为城市建

设的美丽风景．为了车流畅通,并安全地通过交叉路口,1928年,美国首先在新泽西州的两条道

路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年,芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至

1935年,瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此,城市交通开始从平地走向立体．

在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路

与地面之间的距离,工程师如何计算出来？

知识点1点P到直线l的距离

→

如图,直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点．设AP＝a,则向量

→→

AP在直线l上的投影向量AQ＝(au·)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线l的距离为PQ

→→

2222

＝AP||－AQ||＝a－au·.

如何用向量的方法求两条平行线的距离？

[提示]两条平行线的距离可转化为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离．

1.lA(2,3,1),s(0,1,1),P(4,3,2)ld

已知直线过定点且方向向量为＝则点到的距离为

()

32210

A．B．C．D．2

222

→→→s1232



22

A[AP＝(2,0,1),由点到直线的距离公式得d＝AP||－AP|·|＝5－＝.]

|s|2

2

知识点2点P到平面α的距离

如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点．过点P作平面α

→

的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上