第3章 不等式（含解析）——高中数学苏教版(2024)必修第一册单元测试.docx

第3章不等式——高中数学苏教版(2019)必修第一册课时优化训练

一、选择题

1．已知，则的最大值为()

A. B. C. D.3

2．如果,那么下列不等式中成立的是()

A. B. C. D.

3．已知正实数a,b满足,则的最小值为()

A.9 B.8 C.3 D.

4．下列结论中正确的是()

A.若,则 B.若,则

C.若,则 D.若,则

5．如果，，那么下列不等式成立的是()

A. B. C. D.

6．一元二次不等式的解集为()

A. B.或

C. D.或

7．已知正数x,y满足,则的最小值为()

A. B.2 C. D.4

8．数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设一个三角形的三边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为12,,则此三角形面积的最大值为()

A.4 B. C. D.

二、多项选择题

9．已知不等式的解集为,则下列选项正确的是()

A. B. C. D.

10．若正实数x,y满足,则下列说法正确的是()

A.有最大值为 B.有最小值为

C.有最小值为 D.有最大值为

11．设正实数a，b满足，则()

A.有最大值

B.有最大值

C.有最大值

D.有最小值

三、填空题

12．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金,售货员先将的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际得到的黄金_______（填、或=）杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂

13．已知正实数a,b满足,则的最小值是______________.

14．已知,则的最小值为________.

四、解答题

15．利用基本不等式求下列式子的最值：

(1)若,求的最小值,并求此时x的值;

(2)已知x,,且,求xy的最大值;

(3)若,求的最大值.

16．比较下列各题中两个代数式值的大小.

(1)与;

(2)与.

17．解下列问题：

(1)若不等式的解集为,求a,b的值;

(2)若,,,求的最小值;

18．已知,.

（1）求的最小值;

（2）若,求的最小值.

19．已知

(1)证明：的最大值与的最小值相等.

(2)若恒成立,求m的取值范围.

参考答案

1．答案：B

解析：由题意得，，即，

当且仅当，即，或，时等号成立，

所以的最大值为.

故选：B.

2．答案：B

解析：对于A：由得,错误;

对于B：由,则有,即,正确;

对于C：由得,则根据不等式的性质有,即,

由可得,错误;

对于D：由得,则,即,错误.

故选：B.

3．答案：C

解析：由条件知,

,

当且仅当时取等号.

故选：C.

4．答案：C

解析：当,,时满足,可得,A选项错误;

当,,可得,B选项错误;

若,由不等式乘法性质可得,C选项正确;

当,,可得,D选项错误.

故选：C.

5．答案：D

解析：由选项可知，仅需要比较a，，三个数的大小，

显然，，，，所以最大，由可得，，

所以，即，可得.故选：D.

6．答案：A

解析：不等式化为,即,解得,

所以原不等式的解集为.

故选：A.

7．答案：B

解析：因为x,y都是正数,且满足,

则,则,

当且仅当,即,时等号成立,

所以的最小值为2.

故选：B.

8．答案：C

解析：由题意得,,

则,

当且仅当时,等号成立,此时三角形的面积有最大值,且最大值为.

故选：C.

9．答案：AC

解析：由于不等式的解集为,

所以和是方程的两个实数根,

故且,解得,,

故选：AC.

10．答案：ABC

解析：对于A：因为,则,当且仅当,即,时取等号,故A正确,

对于B,,当且仅当,即,时取等号,故B正确,

对于C：因为,则,当且仅当,即,时取等号,故C正确,

对于D：因为,

当且仅当,即,时取等号,这与x,y均为正实数矛盾,故D错误,

故选：ABC.

11．答案：BD

解析：正实数a，b满足，即有，

可得，即有，A错，B正确，

由，C错，

由，D正确，

综上可得BD均正确.

12．答案：

解析：由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为a,右臂长为b,则,

再设先称得黄金为,后称得黄金为,则,,,,

,当且仅当,即时等号成立,但,等号不成立,即.因此,顾客购得的黄金大于.

故答案为：.

13．答案：9

解析：,,,

,,

设,,可得,

则

,

当时,当“=”成立,即的最小值是9,

故答案为：9.

14．答案：

解析：,当且仅当的时候取“”,

又,当且仅当的时候取“.

综上,当的时候,不等式取“”条件成立,此时最小值为12.

故答案为:12.

15．答案