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必威体育精装版人教版高一数学必修1第一章《函数的单调性》夯实基础

2.3函数的单调性

巩固·夯实基础

一、自主梳理

1.单调性的定义

设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任

意两个自变量x1、x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函

数.

2.判断函数单调性的方法

(1)定义法.

(2)利用基本函数的单调性,如:二次函数y=x2-2x在(-∞,1)上是减

函数.

(3)利用复合函数同增异减这个结论判断.

(4)利用函数图象上升增下降减进行判断.另外利用导数值的符号也

能判断函数的单调性.

二、点击双基

1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A.y=-x+1

B.y=xC.y=x2-4x+5D.y=x

2答案:B

2．函数y=loga(x2+2x-3)，当x=2时，y＞0，则此函数的单

调递减区间是()

A.(-∞，-3)

B.(1，+∞)

C.(-∞，-1)

D.(-1，+∞)

解析:当x=2时，y=loga5＞0，∴A＞1.

由x2+2x-3＞0?x＜-3或x＞1，易见函数t=x2+2x-3在(-∞，

-3)上递减，故函数y=loga(x2+2x-3)(其中a＞1)也在(-∞，-3)上递

减.

答案:A

3．（2005上海高考）若函数f(x)=1

21+x,则该函数在(-∞,+∞)上是()A.单调递减无最小值B.单调递

减有最小值

C.单调递增无最大值

D.单调递增有最大值

解析：由于u(x)=2x+1在R上递增且大于1,则f(x)=

1

21+x在R上递减,无最小值,选A.答案：A4．（2006北京海淀

模拟）函数y=lgsin(

4

π-2x)的单调增区间是()A.(kπ-85π,kπ-8π)(k∈Z)B.［kπ-8π,k

π+8

π］(k∈Z)C.(kπ-83π,kπ-8π)(k∈Z)D.［kπ-8

π,kπ+83π］(k∈Z)解析:令y=lgμ,μ=sin(4

π-2x).根据复合函数单调区间的求法,只需使2kπ+2π≤4

π-2x2kπ+π即可.∴-kπ-83π=≤-k=

答案:C

诱思·实例点拨

【例1】如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(

21，1）上是增函数，求f(2)的取值范围.剖析:由于f(2)=22-(a-

1)×2+5=-2a+11,求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值

域，当然就应先求其定义域.

解:二次函数f(x)在区间(

2

1，1)上是增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，故其对称轴

x=21-a或与直线x=21重合或位于直线x=21的左侧，于是21-a≤21,

解之得a≤2,故f(2)≥-2×2+11=7,即f(2)≥7.

【例2】讨论函数f(x)=

12-xax(a0)在x∈(-1,1)上的单调性.解:设-11,=

bdsfid=108p=

则f(x1)-f(x2)=1

1222211xaxxax=)

1)(1(222122121221--+--xxaxxaxaxxax=)

1)(1()1)(-+-xxxxxxa.∵-11,=bdsfid=113

p=

∴x2-x10,x1x2+10,(x12-1)(x22-1)0.

又a0，

∴f(x1)-f(x2)0,函数f(x)在(-1，1)上为减函数.

【例3】求函数y=x+x

1的单调区间.剖析:求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性)，

一般有三种方法: