福建省莆田市2024−2025学年高二上学期10月月考数学试卷[含答案].docx

福建省莆田市2024?2025学年高二上学期10月月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知点，则直线的斜率是（????）

A． B． C． D．

2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（????）

A． B． C． D．

3．过原点且与直线垂直的直线方程为（????）

A． B．

C． D．

4．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

5．如图，在平行六面体中，，，则的长为（????）

A． B． C．85 D．97

6．若两平行直线与之间的距离是，则m+n＝（????）

A．0 B．1 C． D．

7．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（????）

A． B． C． D．

8．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．如果，，那么直线经过（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．关于空间向量，以下说法正确的是（????）

A．非零向量，，若，则

B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面

C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线

11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（????）

A．与平面的夹角的正弦值为 B．点到的距离为

C．线段的长度的最大值为 D．与的数量积的范围是

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为．

13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为．

14．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为

四、解答题（本大题共5小题）

15．菱形的顶点、的坐标分别为、，边所在直线过点．

(1)求边所在直线的方程；

(2)求对角线所在直线的方程．

16．已知空间向量．

(1)若，求；

(2)若，求的值．

17．已知直线的方程为：.

(1)求证：不论为何值，直线必过定点；

(2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长.

18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点．

(1)证明：平面PAD；

(2)若，

（i）求二面角的余弦值；

（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．

19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴?轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

??

(1)若，，求的斜60°坐标；

(2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．

①求的斜60°坐标；

②若，求与夹角的余弦值．

参考答案

1．【答案】A

【详解】由题意可知直线的斜率为.

故选：A

2．【答案】C

【详解】根据点关于平面对称时，

横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知，

点关于平面的对称点为，

故选：C.

3．【答案】C

【详解】直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为，

又直线过原点，故其方程为.

故选：C.

4．【答案】B

【分析】设正方体的棱长为2，建系标点，利用空间向量求线线夹角.

【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，

可得，

则，

所以直线，所成角的余弦值为.

故选B.

【方法总结】求空间角的常用方法：

（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量、平面法向量与平面法向量）的余弦值，通过转化求出结果.

5．【答案】B

【分析】依题意可得，将两边平方，根据数量积的定义及运算律计算可得.

【详解】依题意可得，，，，

，．

，

，

，即的长为.

故选B．

6．【答案】A

【详解】由直线与平行可得即，

则直