中考数学知识点38 相似、位似及其应用2018--2.pdf

三、解答题

1.（2018浙江金华丽水，24，12分）在Rt△ABC中，∠ACB90°，AC12．点D在直线CB上，以CA，CD为

边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F、G．

（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．

①若点G为DE中点，求FG的长．

②若DGGF，求BC的长．

（2）已知BC9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明

理由．

AE

F

G

CDB

第24题图

【思路分析】本题综合考查了三角形、四边形的判定与性质．（1）①由勾股定理可得AG，由相似三角形的性质

FGEG1

得＝＝，进而得FG的方程方程值；②根据题意先证得∠1＝∠2（设为x），∠1＝∠2＝∠B＝∠3＝x．根

AFAC2

据三角形内角和定理列方程，解得x＝30°．

AC

在Rt△ABC中，由BC＝可得解．

tan30o

（2）存在．分情况讨论：①点D在线段BC上；②点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AEF

上方；③点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点在BD下方；④点D在线段CB的延长线上．

【解题过程】解：（1）①在正方形ACDE中有DG＝GE＝6．

2222

在Rt△AEG中，AG＝AEEG＝126＝65．

∵EG∥AC∴△ACF∽△GEF．

，

FGEGFG61

∴＝，∴＝＝．

AFACAF122

1

∴FG＝AG＝25．

3

②如图1,在正方形ACDE中,AE＝ED∠AEF＝∠DEF45°

，，

又EF＝EF∴△AEF≌△DEF．

，

∴∠1＝∠2（设为x）．

∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x．

∵GF＝GD

∴∠3＝∠2＝x．

在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B180°，

1

∴x＋（x＋90°）＋x＝180°,解得x＝30°，

∴∠B30°．

AC

∴在Rt△ABC中，BC＝＝123．

tan30o

2222

（2）在Rt△ABC中，AB＝ACBC＝129＝15．

如图2,当点D在线段BC上时,此时只有GF＝GD．

∵DG∥AC∴△BDG∽△BCA．

，

设BD＝3xDG＝4xBG＝5x

，则，，

∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x，

∵AE∥CB∴△AEF∽△BCF

，，

AEAF93x15-9x

2

∴＝，∴＝，即x－6x＋5＝0．

BCBF99x

解得x＝1，x＝5（舍去），

12

∴腰长GD＝4x＝4．

如图3，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AEF上方时，

此时只有GF＝DG．

设AE＝3xEG＝4xAG＝5x

，则，，

∴FG＝DG＝12＋4x，

∵AE∥BC∴△AEF∽△BCF

，，

AE