2025届青岛市58中高三数学上学期期中考试卷附答案解析.docx

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2025届青岛市58中高三数学上学期期中考试卷

本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.已知，则＝（）

A.2 B.1 C. D.

3.已知．若，则（）

A. B. C. D.

4.已知等比数列的前n项和为，且，则“”是“的公比为2”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（）

A. B. C. D.

6.已知函数则图象上关于原点对称的点有（）

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

7.已知函数，函数fx的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y=gx的图象.若方程在上有两个不同的解，，则的值为（）

A. B. C. D.π

8.若关于不等式恒成立，则当时，最小值为（）

A. B. C.1 D.

二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）

9.已知，则下列结论正确的是（）

A. B. C. D.

10.若数列an满足，，（，），则称数列an为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立是（）

A. B.（，）

C. D.

11.如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）

A.若平面，则点P的轨迹长度为

B.若，则点P的轨迹长度为

C.若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为

D.若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是

第Ⅱ卷

三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.

13.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.

14.已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段上，若，则的最小值是________．

四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.已知数列的前项和为，且.

（1）求及数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.

16.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有，

（1）求角B：

（2）若AC边上的高，求.

17.如图1，在平行四边形中，，，E为中点，将沿折起，连结，，且，如图2．

（1）求证：图2中的平面平面；

（2）在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．

18.已知函数，且与轴相切于坐标原点．

（1）求实数的值及的最大值；

（2）证明：当时，；

（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．

19.对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.

（1）求20以内质数“理想数”；

（2）已知.求m的值；

（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：.

2025届青岛市58中高三数学上学期期中考试卷

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先把集合用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.

【详解】若，，则是的正因数，而的正因数有，，，，

所以，

因为，

所以，

故选：B.

2.已知，则＝（）

A.2 B.1 C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的运算法则计算出复数，再计算复数的模.

【详解】由题意知，

所以，

故选：C.

3.已知．若，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果.

【详解】因为，且，

则，可得，

所以.

故选：B.

4.已知等比数列的前n项和为，且，