人教版高中数学选择性必修二 精讲精练第五章 一元函数的导数及其应用 章末归纳总结（解析版）.docx

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第五章一元函数的导数及其应用章末归纳总结

考点一函数的求导

【例1】（2023秋·高二课时练习）求下列函数的导数：

(1)；(2)．(3)；(4)；(5)．

【答案】(1)

(3)

(4)

(5)

【解析】（1）因为，

所以；

（2）因为，

所以

（3）；

（4）；

（5）.

【一隅三反】

（2023春·高二课时练习）求下列函数的导函数

(1)；(2)；(3)．(4)；

(5)；(6)．

【答案】(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

【解析】（1）因为，所以；

（2）函数可看做函数和的复合函数，

由复合函数求导法则可得，

（3）可化为，

函数可看做函数和的复合函数，

由复合函数求导法则可得，

（4）

（5）

（6），

考点二切线方程

【例2-1】（2023春·广东深圳）设函数，且为奇函数，则曲线在点处的切线方程为．

【答案】

【解析】因为函数为奇函数，所以，即，即，，

，，所以曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：

【例2-2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）过点且与曲线相切的直线方程为

【答案】或

【解析】设切点为，因为，所以，故切线方程为，

又因为切线过点，所以，整理得，解得或，

当时，切线方程为，即，

当，切线方程为，即.

【例2-3】（2023·浙江）已知直线与曲线相切，则的最小值为

【答案】1

或 由，知定义域为，

设切点为，，，

所以，故切点为，代入直线方程，

则，

，

令，，

令，解得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

则，

故的最小值为1.

故选：B

4．（2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为.

【答案】

或 设点为曲线上一点，则

又，则，

则曲线在点处的切线方程为

，又切线过点，

则，即

令，则，

则时，单调递减；

时，单调递增；

时，单调递减，

则时取得极小值，时取得极大值，

又，

当时，恒成立，时，，

又由题意得方程有3个根，

则与图像有3个交点，则.

则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.

????

故答案为：

5（2023·全国·高三专题练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为.

【答案】

或 ??????

由函数，求导可得：，则，

在处的切线方程为，整理可得：；

由函数，求导可得：，则，

在处的切线方程为，整理可得；

由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..

故答案为：.

【一隅三反】

1．（2023秋·陕西）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（????）

A． B． C． D．

【答案】C

或 设切点横坐标为，所作切线斜率为，则，

当时，，故不存在；

当时，满足：.

所以：.

故选：C.

2．（2023秋·四川南充）过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】依题意，，则，

即切线的斜率的取值范围是，

所以倾斜角的取值范围是.

故选：B

3．（2023秋·河南）若曲线在点处的切线在y轴上的截距为1，则（????）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【解析】因为点在曲线上，所以，得，

因为，所以该曲线在点A处的切线斜率，

所以切线方程为，

令，则，故.

故选：A.

4．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（????）

A．1 B．2 C．3 D．

【答案】D

【解析】设动点的坐标为，根据点到直线的距离公式有点到直线的距离，

设，

则，

令得，令得，

∴函数在区间上单调递增，在上单调递减，

故当时，取得最大值为，即的值域为，

∴，

∴当时，点到直线的距离的最小值为.

故选：D.

5．（2023春·贵州黔西·高二校考期中）过点与曲线相切的直线方程为．

【答案】

【解析】设切点坐标为，，.

则切线方程为，因为在切线上，

所以，即

又，所以，

令，，当时，，

所以在上单调递增，

所以方程只有唯一解为.

即切点坐标为，故所求切线方程为，即.

故答案为：

6．（2023秋·广西南宁）已知曲线与的公切线为，则实数.

【答案】

【解析】由函数，可得，

设切点坐标为，可得，则切线方程为，

即，与公切线重合，可得，

可得，所以切线方程为，

对于函数，可得，设切点为，则

则，解得.

故答案为：

考点三函数的单调性

【例3-1】（2023·全国专题练习）函数的单调递减区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，

，，，，

则在上单调递减，在上单调递增.

故选：A

【例3-2】