湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx

明德中学2024年下学期期中考试

高二年级数学试卷

2024年11月

时量：120分钟满分150

命题：姜华审定：何国瑞

一?单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）

1.若集合，，则中元素的个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合的交集即可得出元素个数.

【详解】因为集合，，

所以，即集合中有2个元素.

故选：B

2.若复数（其中i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由复数除法运算求得，得其对应点坐标，从而得所在象限．

【详解】，对应点坐标，在第一象限．

故选：A．

3.设平面向量，若，则等于（）

A. B. C.20 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由向量平行的坐标表示及模长公式即可求解.

【详解】由，

可得：，即，

所以，

故选：D

4.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由焦距求，利用离心率求，根据的关系求，即可得到椭圆的方程.

【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为，

由得，

由得，故，

所以该椭圆的方程为.

故选：D.

5.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果.

【详解】∵点为中点，

∴，

∴

故选：B.

6.已知圆与圆外切，则的值为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】

【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.我们先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值.

【详解】对于圆，其圆心坐标，半径.

对于圆,其圆心坐标，半径.

因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和.

两圆的圆心距.

根据两圆外切性质，即，解得.

故选：B.

7.过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】A

【解析】

【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可.

【详解】设，则，圆的圆心，半径为，

由切圆于点，得，

则

，

当且仅当时，等号成立，

可知的最小值为，整理可得，解得或，

因为，所以，即.

故选：A.

【点睛】思路点睛：本题考查圆和抛物线综合问题，具体思路如下：

（1）当四边形对角线互相垂直时，四边形面积等于对角线乘积的一半.

（2）根据圆的切线垂直于过切点的半径，可把四边形面积转化为两个全等三角形面积的和.

（3）设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，求出函数的最小值，利用等量关系即可得到结果.

8.已知函数满足，若函数在上的零点为，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由方程组法求得，判断其奇偶性，再结合函数图形即可判断.

【详解】由，可得，

解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称，

则函数y=fx在上的图急关于原点对称，

故函数y=fx在上的零点也关于原点对称，和为0，

在上的零点和即为上的零点和，

令，得，

作出和在同一坐标系中的图象，可知y=fx在内的零点有，

故零点之和为

故选：B

二?多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分.选错得0分，部分选对得部分分）

9.设实数，，且满足，则下列不等关系中一定成立的是（）．

A.

B.

C.

D.

【答案】AB

【解析】

【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性对四个选项逐一判断，即可得出答案.

【详解】因为，所以，故A正确；

因为，所以，故B正确；

因为函数在上单调递增，且，所以，故C不正确；

当时，结合，可得，当时，，故D不正确.

故选：AB.

10.下列说法正确的是（）

A.数据的第60百分位数为10.

B.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是

C.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件都发生的概率是.

D.若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数和方差分别为8和27.

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出第60百分位数判断A；利用简单随机抽样的意义判断B；利用独立事件的概率计算判断C；利用平均数的方差的性质计算判断D.

【详解】