导数在函数中的应用(一轮复习听课导学案) .pdf

导数在函数中的应用

一、总体要求

【学习目标】

1.理解导数在探讨函数的单调性和极值中的作用；

2.理解导数在解决有关不式、方程的根、曲线交点个数问题中有广泛的应用。

3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项

式函数的极大值、微小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小

值；体会导数方法在探讨函数性质中的一般性和有效性。

【重点难点】

1、利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的极值；利用导数求函数的最值;

2、利用导数证明函数的单调性；数在实际中的应用；

3、导数与函数、不式、方程学问相融合的问题；

二、考点梳理

学问点一函数的导数与单调性的关系

函数y=了⑴在某个区间内可导，

⑴若广3)〉0,则在这个区间内；

⑵若JV)0,则f(x)在这个区间内；

⑶若广3)=0,则f(x)在这个区间内;

学问点二函数的极值与导数

(1)函数的微小值与微小值点：

若函数y=f(x)在点x=a处的函数值只。)比它在点x=a旁边其他点的函数值___,

且f(。)=0,而且在点x=a旁边的左侧,右侧,则点。叫做函

数的微小值点，犬。)叫做函数的微小值.

(2)函数的极大值与极大值点：

若函数y=f(x)在点x=b处的函数值犬/?)比它在点x=b旁边其他点的函数值___,

且f(b)=0,而且在点x=b旁边的左侧,右侧，则点叫做函

数的极大值点，只人)叫做函『数的极大值，和统称为极值.

3.函数的最值与导数：

(1)设y=f(x)是定义在区间［a,b］上的连续函数，y=/(%)在(a,b)内有导数,

则函数y=/(%)在［a,b］上有最大值与最小值.

(2)求最值可分两步进行：

①求y=了⑴在(a,b)内的________值；

②将y=f3)的各________值与f(a),f0)比较，其中最大的一个为最大值，最小

的一个为最小值.

⑶若函数y=/(%)在［a,b］上单调递增，贝b(o)为函数的,/(b)为函数

的;若函数y=f(x)在［a,b］上单调递减，则f(a)为函数的,f(b)

为函数的.

三考.点应用典例解析

考点一利用导数探讨函数的单调性

例1.(2012辽宁高考)函数y=|x2—Inx的单调递减区间为().

A.(-1,1］B.(0,1］

C.［1,8)D.(0,8)

归总结求单调区间的一般步骤：

简单忽视的问题:________________________________________________________

例2.已知函数f(x)=-x3+ax2若函数f(x)在区间［0,2］上单调递增。

试求实数a的取值范围。

归总结：函数在区间M内递增(或递减),可以转化为:.

考点二利用导数探讨函数的极值

例3:(2013福建高考)已知函数/(x)=x-alnx(aeR)

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(l,f(l))处的切线方程；

(2)求函数的极值.

归总结求极值的一般步骤:

易错的学问点:导数值为0的点肯定是极值点吗?

考点三用导数探讨函数的最值：

例4:(教材课后习题改编)已知函数：=l

(1)求函数在x=l处的切线方程

⑵求函数在区间(0,e］上的最值.

归总结一求函数在区间［。,句上的最值一般步骤:

例5：设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-xa.

当a二0时，f(x)Nh(x)在(1,8)上恒成立，求实数ni的取值范围;

数四学.思想的渗透

例6：已知函数y=f(x)(xER)的图象如图所示，贝【J不式xf(x)0的解集为()

(A)(o,|)U(|,2)(B)(-8,O)U(1,2)

(C)(-OO,1)U(l,°°)(D)(―皿—)