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数学论⽂导数及应⽤范⽂(2)

数学论⽂导数及应⽤篇三

摘要：⾼等数学是⼀门⽅法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然⽽导数这⼀章节在⾼等数

学中是尤为重要的，在⾼等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作⽤，是学习⾼等数学⾮常重要的任

务。本⽂详细地阐述了导数的求解⽅法和在实际中的应⽤。

关键词：⾼等数学导数求解应⽤

导数的基本概念在⾼等数学中地位很⾼，是⾼等数学的核⼼灵魂，因此学习导数的重要性是不⾔⽽

喻的。然⽽这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运⽤导数来解决有关的问题。我通

过⾃⼰的学习和认识，举例⼦说明了⼏种导数的求解⽅法以及导数在实际中的应⽤。

⼀、导数的定义

1.导数的定义

设函数y=f(x)在点x0的某⼀邻域内有定义，如果⾃变量x在x0的改变量为△x(x0≠0，且x0±△x仍在该

邻域内)时，相应的函数有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。

若△y与△x之⽐，当△x→0时，有极限lim=lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且

有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。

2.导数的⼏何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数在⼏何上表⽰曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线斜率，即f`(x0)=tan，

其中是切线的倾⾓。如果y=f(x)在点x0处的导数为⽆穷⼤，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为

极限位置，即曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的⼏何意义并应⽤直线的

点斜式⽅程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线⽅程。

⼆、导数的应⽤

1.实际应⽤

假设某⼀公司每个⽉⽣产的产品固定的成本是1000元，关于⽣产数量x的可变成本函数是

0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收⼊的函数，总利润的函数，边际收

⼊，边际成本及边际利润等为零时的产量。

解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和：

总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000

总收⼊的函数R(x)=px=30x(常数p是产品数量)

总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000

边际收⼊R(x)Γ=30

边际成本C(x)=0.02x+20

边际利润I(x)=-0.02x+20

令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每⽉的⽣产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表

明了，当每⽉⽣产数⽬为1000个时，利润也不会再增加了。

2.洛必达法则的应⽤

如果当x→a(或x→∞)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于⽆穷⼤，那么极限lim可能存在，也可

能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能⽤商“的极限等

于极限的商”这⼀重要法则。下⾯我们会得出这⼀类极限的⼀种简便并且很重要、很实⽤的⽅法。

定理1，设：

(1)当x→a时函数f(x)及F(x)都趋于零;

(2)在点a的某去⼼领域内，两个函数f(x)与F(x)的导数都存在且F(x)的导数不等于零;

(3)当x→a时函数f(x)的导数与函数F(x)的导数⽐的极限存在(或为⽆穷⼤);

那么lim的极限存在就等于函数f(x)的导数与函数F(x)的导数⽐值在x→a时的导数。这种在⼀定的条

件下通过运⽤分⼦分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的⽅法就称为洛必达法则。

定理2，设：

(1)当x→∞时函数f(x)及F(x)都趋于零;

(2)在点a的某去⼼领域内，两个函数f(x)与F(x)的导数都存在且F(x)的导数不等于零;

(3)当x→∞时函数f(x)的导数与函数F(x)的导数⽐的极限存在(或为⽆穷⼤);

那么lim的极限存在就等于函数f(x)的导数与函数F(x)的导数⽐值在x→∞时的导数。

洛必达法则是计算未定式极限的⼀个重要并且效果很好的法则。尽管洛必达法则计算省时⽅便，但

极易出错，下⾯是应⽤这个法则时应注意的问题：

在使⽤洛必达法则之前必须看好极限