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矩阵根底学问
贺国宏编
为了学好测绘工程专业的核心课程〈测量平差根底〉,必需驾驭以下所述矩阵的根底学问,同时,学习这些学问,对于学习测绘工程的其它课程,以及以后的深造,都是重要的。
1、矩阵的秩
定义:矩阵A的最大线性无关的行(列)向量的个数r,称为矩阵A的行(列)秩。由于矩阵的行秩等于列秩,故统称为矩阵的秩,记为R(A)。
对于矩阵的秩有性质:
(1)
2、矩阵的迹
定义:方阵A的主对角元素之和称为该方阵的迹,记为
(2)
对于矩阵的迹有下面的性质:
(1)()(A) (3)
(2) ()(A)(B) (4)
(3) ()(A) (5)
(4) ()() (6)
3、矩阵的特征值和特征向量
定义:对于n阶方阵A,假设存在非零向量,使得
(7)
则称常数为矩阵A的特征值(或特征根),而称为矩阵A属于特征值的特征向量。
由此可得
0 (8)
因此,该齐次线性方程有非零解的条件是
(9)
称为矩阵A的特征矩阵,而f()为矩阵A的特征多项式。明显,矩阵A的特征根为特征方程(9)的根。
应当指出,对于一般的实矩阵A,特征根可能是复数,从而特征向量也是复数。以后将会看到,对于实对称矩阵,其特征根和特征向量都是实的。这一点是很重要的。特征值和特征向量具有以下性质:
(1)设为n阶方阵A的n个特征值,则:
的特征值为
1的特征值为
(2)(A)=
(3)矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
[证]设A的互不一样的特征值为,其对应的特征向量分别为。
对m作归纳法,当1,因,结论明显成立。设线性无关,考虑1的状况:设
0 (a)
则
A()
=0 (b)
得:…=0
由于线性无关,故
必有 ,代入(a)得 0
由于0,则,故全等于0,从而线性无关。
4、等价矩阵(或相抵矩阵)
定义:假设矩阵A经过有限次的初等变换化为矩阵B,就称矩阵A与B等价或称A与B相抵,
记为。
按定义是说,假设
1…P11Q2…
式中P1,P2,…,;Q1,Q2,…,,是初等矩阵,则称。上式可简写为
(10)
因此,此定义又可改为,假设存在满秩方阵P和Q,使,则称。
对于等价矩阵有下述性质:
(1)假设,则R(A)(B)
(2)假设A为可逆阵,则
(3)对于m×n阶矩阵A,假设R(A),则存在可逆阵×m和×n,使
(11)
(4)假设A和B同阶,且R(A)(B),则
[证]:由(3),存在可逆阵P1,Q1;P2,Q2使
P11=P22=
故P1122,即11,改写为,即。
5、满秩矩阵
定义:假设n阶方阵A的秩R(A),则称A为满秩方阵。假设m×n阶矩阵A的秩R(A),称A为行满秩阵;假设R(A),则称A为列满秩阵。
对于随意一m×n阶矩阵A,假设R(A),则A可分解为
(12)
其中,R为列满秩阵,S是行满秩阵。这种分解不是唯一的。
[证]:由(11),存在可逆阵×m和×n,使
改写为11==
6、幂等矩阵
定义:称满意条件A2的方阵A为幂等矩阵。
幂等矩阵有下述重要性质:
(1)幂等矩阵A的特征值为0或1。
[证]:设λ为A的相应于特征向量为χ的特征根,
则由,得
由此,故必有
(2)幂等矩阵A的秩,等于它的迹,即
R(A)(A) (13)
[证]:设R(A),由(12)
其中,R、S分别为列满秩阵和行满秩阵。由A2,得
两边左乘()-1,右乘(T)-1得,
()-1(T)-1=()-1(T)-1
即 又因为
(A)()()()=r
即 R(A)(A)
(3)假设方阵A为R(A)的幂等矩阵,则A也为幂等矩阵,且R()
[证] ()2-2A2,由(13)式
R()()(A)
7、相像矩阵
定义:设A、B都是n阶方阵,假设有可逆阵P,使
1 (14)
则称B是A的相像矩阵,或说A与B相像。对A进展运算1称为对A进展相像变换,P称为把A变为B的变换矩阵。
假设P
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