矩阵基础知识.docx

矩阵根底学问

贺国宏编

为了学好测绘工程专业的核心课程〈测量平差根底〉，必需驾驭以下所述矩阵的根底学问，同时，学习这些学问，对于学习测绘工程的其它课程，以及以后的深造，都是重要的。

1、矩阵的秩

定义：矩阵A的最大线性无关的行(列)向量的个数r，称为矩阵A的行(列)秩。由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵的秩，记为R(A)。

对于矩阵的秩有性质：

(1)

2、矩阵的迹

定义：方阵A的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为

(2)

对于矩阵的迹有下面的性质：

(1)()(A) (3)

(2) ()(A)(B) (4)

(3) ()(A) (5)

(4) ()() (6)

3、矩阵的特征值和特征向量

定义：对于n阶方阵A，假设存在非零向量，使得

(7)

则称常数为矩阵A的特征值(或特征根)，而称为矩阵A属于特征值的特征向量。

由此可得

0 (8)

因此，该齐次线性方程有非零解的条件是

(9)

称为矩阵A的特征矩阵，而f()为矩阵A的特征多项式。明显，矩阵A的特征根为特征方程(9)的根。

应当指出，对于一般的实矩阵A，特征根可能是复数，从而特征向量也是复数。以后将会看到，对于实对称矩阵，其特征根和特征向量都是实的。这一点是很重要的。特征值和特征向量具有以下性质：

(1)设为n阶方阵A的n个特征值，则：

的特征值为

1的特征值为

(2)(A)=

(3)矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

[证]设A的互不一样的特征值为,其对应的特征向量分别为。

对m作归纳法，当1，因，结论明显成立。设线性无关，考虑1的状况：设

0 (a)

则

A()

=0 (b)

得：…=0

由于线性无关，故

必有 ,代入(a)得 0

由于0，则，故全等于0，从而线性无关。

4、等价矩阵(或相抵矩阵)

定义：假设矩阵A经过有限次的初等变换化为矩阵B，就称矩阵A与B等价或称A与B相抵,

记为。

按定义是说，假设

1…P11Q2…

式中P1，P2，…，；Q1，Q2，…，，是初等矩阵,则称。上式可简写为

(10)

因此，此定义又可改为，假设存在满秩方阵P和Q，使，则称。

对于等价矩阵有下述性质：

(1)假设，则R(A)(B)

(2)假设A为可逆阵，则

(3)对于m×n阶矩阵A，假设R(A)，则存在可逆阵×m和×n，使

(11)

(4)假设A和B同阶，且R(A)(B)，则

[证]：由(3)，存在可逆阵P1，Q1；P2，Q2使

P11=P22=

故P1122，即11,改写为，即。

5、满秩矩阵

定义：假设n阶方阵A的秩R(A)，则称A为满秩方阵。假设m×n阶矩阵A的秩R(A)，称A为行满秩阵；假设R(A)，则称A为列满秩阵。

对于随意一m×n阶矩阵A，假设R(A)，则A可分解为

(12)

其中，R为列满秩阵，S是行满秩阵。这种分解不是唯一的。

[证]：由(11),存在可逆阵×m和×n，使

改写为11==

6、幂等矩阵

定义：称满意条件A2的方阵A为幂等矩阵。

幂等矩阵有下述重要性质：

(1)幂等矩阵A的特征值为0或1。

[证]：设λ为A的相应于特征向量为χ的特征根，

则由,得

由此,故必有

(2)幂等矩阵A的秩，等于它的迹，即

R(A)(A) (13)

[证]：设R(A)，由(12)

其中，R、S分别为列满秩阵和行满秩阵。由A2，得

两边左乘()-1，右乘(T)-1得，

()-1(T)-1=()-1(T)-1

即 又因为

(A)()()()=r

即 R(A)(A)

(3)假设方阵A为R(A)的幂等矩阵,则A也为幂等矩阵，且R()

[证] ()2-2A2,由(13)式

R()()(A)

7、相像矩阵

定义：设A、B都是n阶方阵，假设有可逆阵P，使

1 (14)

则称B是A的相像矩阵，或说A与B相像。对A进展运算1称为对A进展相像变换，P称为把A变为B的变换矩阵。

假设P