矩阵基础知识.docx

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矩阵根底学问

贺国宏编

为了学好测绘工程专业的核心课程〈测量平差根底〉,必需驾驭以下所述矩阵的根底学问,同时,学习这些学问,对于学习测绘工程的其它课程,以及以后的深造,都是重要的。

1、矩阵的秩

定义:矩阵A的最大线性无关的行(列)向量的个数r,称为矩阵A的行(列)秩。由于矩阵的行秩等于列秩,故统称为矩阵的秩,记为R(A)。

对于矩阵的秩有性质:

(1)

2、矩阵的迹

定义:方阵A的主对角元素之和称为该方阵的迹,记为

(2)

对于矩阵的迹有下面的性质:

(1)()(A) (3)

(2) ()(A)(B) (4)

(3) ()(A) (5)

(4) ()() (6)

3、矩阵的特征值和特征向量

定义:对于n阶方阵A,假设存在非零向量,使得

(7)

则称常数为矩阵A的特征值(或特征根),而称为矩阵A属于特征值的特征向量。

由此可得

0 (8)

因此,该齐次线性方程有非零解的条件是

(9)

称为矩阵A的特征矩阵,而f()为矩阵A的特征多项式。明显,矩阵A的特征根为特征方程(9)的根。

应当指出,对于一般的实矩阵A,特征根可能是复数,从而特征向量也是复数。以后将会看到,对于实对称矩阵,其特征根和特征向量都是实的。这一点是很重要的。特征值和特征向量具有以下性质:

(1)设为n阶方阵A的n个特征值,则:

的特征值为

1的特征值为

(2)(A)=

(3)矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

[证]设A的互不一样的特征值为,其对应的特征向量分别为。

对m作归纳法,当1,因,结论明显成立。设线性无关,考虑1的状况:设

0 (a)

A()

=0 (b)

得:…=0

由于线性无关,故

必有 ,代入(a)得 0

由于0,则,故全等于0,从而线性无关。

4、等价矩阵(或相抵矩阵)

定义:假设矩阵A经过有限次的初等变换化为矩阵B,就称矩阵A与B等价或称A与B相抵,

记为。

按定义是说,假设

1…P11Q2…

式中P1,P2,…,;Q1,Q2,…,,是初等矩阵,则称。上式可简写为

(10)

因此,此定义又可改为,假设存在满秩方阵P和Q,使,则称。

对于等价矩阵有下述性质:

(1)假设,则R(A)(B)

(2)假设A为可逆阵,则

(3)对于m×n阶矩阵A,假设R(A),则存在可逆阵×m和×n,使

(11)

(4)假设A和B同阶,且R(A)(B),则

[证]:由(3),存在可逆阵P1,Q1;P2,Q2使

P11=P22=

故P1122,即11,改写为,即。

5、满秩矩阵

定义:假设n阶方阵A的秩R(A),则称A为满秩方阵。假设m×n阶矩阵A的秩R(A),称A为行满秩阵;假设R(A),则称A为列满秩阵。

对于随意一m×n阶矩阵A,假设R(A),则A可分解为

(12)

其中,R为列满秩阵,S是行满秩阵。这种分解不是唯一的。

[证]:由(11),存在可逆阵×m和×n,使

改写为11==

6、幂等矩阵

定义:称满意条件A2的方阵A为幂等矩阵。

幂等矩阵有下述重要性质:

(1)幂等矩阵A的特征值为0或1。

[证]:设λ为A的相应于特征向量为χ的特征根,

则由,得

由此,故必有

(2)幂等矩阵A的秩,等于它的迹,即

R(A)(A) (13)

[证]:设R(A),由(12)

其中,R、S分别为列满秩阵和行满秩阵。由A2,得

两边左乘()-1,右乘(T)-1得,

()-1(T)-1=()-1(T)-1

即 又因为

(A)()()()=r

即 R(A)(A)

(3)假设方阵A为R(A)的幂等矩阵,则A也为幂等矩阵,且R()

[证] ()2-2A2,由(13)式

R()()(A)

7、相像矩阵

定义:设A、B都是n阶方阵,假设有可逆阵P,使

1 (14)

则称B是A的相像矩阵,或说A与B相像。对A进展运算1称为对A进展相像变换,P称为把A变为B的变换矩阵。

假设P

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