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高等数学微积分练习题集(含答案)

一、选择题

1.设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(x)$的值域为（）

A.$(\infty,0)\cup(0,+\infty)$

B.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$

C.$(\infty,1)\cup(1,1)\cup(1,+\infty)$

D.$(\infty,1)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$

2.函数$f(x)=x^33x$的拐点坐标是（）

A.$(1,2)$

B.$(1,2)$

C.$(1,2)$

D.$(1,2)$

3.设$f(x)=\ln(1+x)$，则$f(0)$等于（）

A.1

B.0

C.2

D.1

4.设函数$f(x)$在$x=a$处可导，则$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)f(a)}{h}$等于（）

A.$f(a)$

B.$f(a)+f(a)$

C.$f(a)f(a)$

D.$f(a)\cdotf(a)$

5.设$f(x)=x^2$，则$\intf(x)dx$等于（）

A.$\frac{x^3}{3}+C$

B.$\frac{x^2}{2}+C$

C.$\frac{x^3}{3}$

D.$\frac{x^2}{2}$

二、填空题

1.函数$f(x)=x^33x^2+2$的导数为______。

2.设$f(x)=e^x$，则$f(x)=______$。

3.设$f(x)=\sinx$，则$f(x)=______$。

4.函数$f(x)=\lnx$的导数为______。

5.设$f(x)=x^3$，则$\intf(x)dx=______$。

三、解答题

1.设函数$f(x)=x^33x$，求$f(x)$在$x=1$处的切线方程。

2.设函数$f(x)=e^x$，求$f(x)$在$x=0$处的切线方程。

3.设函数$f(x)=\sinx$，求$f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处的切线方程。

4.设函数$f(x)=\lnx$，求$f(x)$在$x=1$处的切线方程。

5.设函数$f(x)=x^2$，求$f(x)$在$x=2$处的切线方程。

答案：

一、选择题

1.A

2.B

3.C

4.A

5.B

二、填空题

1.$3x^26x$

2.$e^x$

3.$\sinx$

4.$\frac{1}{x}$

5.$\frac{x^3}{3}+C$

三、解答题

1.切线方程为$y=2x+3$。

2.切线方程为$y=x$。

3.切线方程为$y=x\frac{\pi}{2}$。

4.切线方程为$y=x1$。

5.切线方程为$y=4x4$。

高等数学微积分练习题集(含答案)

四、证明题

1.设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，证明$f(x)=\frac{1}{x^2}$。

证明：

由导数的定义，我们有

$$

f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)f(x)}{h}

$$

将$f(x)=\frac{1}{x}$代入上式，得

$$

f(x)=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h}\frac{1}{x}}{h}

$$

化简得

$$

f(x)=\lim_{h\to0}\frac{x(x+h)}{hx(x+h)}

$$

$$

f(x)=\lim_{h\to0}\frac{h}{hx(x+h)}

$$

$$

f(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{x(x+h)}

$$

$$

f(x)=\frac{1}{x^2}

$$

因此，得证。

2.设函数$f(x)=e^x$，证明$f(x)=e^x$。

证明：

由导数的定义，我们有

$$

f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)f(x)}{h}