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高二数学选修2(20页)

一、集合的概念与表示法

1.集合的定义

集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。集合中的对象称为元素。集合的元素可以是具体的物体、抽象的概念、数、函数等。

2.集合的表示法

(1)列举法：将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。例如：{1,2,3,4,5}。

(2)描述法：用描述集合中元素的性质的语句来表示集合。例如：{x|x是大于0的整数}。

3.集合的相等

如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合相等。记作：A=B。

4.集合的包含关系

如果一个集合A中的所有元素都是另一个集合B中的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作：A?B。

5.空集

不包含任何元素的集合称为空集，记作：?。

6.集合的运算

(1)并集：集合A和集合B的并集是指包含A和B中所有元素的集合，记作：A∪B。

(2)交集：集合A和集合B的交集是指同时包含在A和B中的元素组成的集合，记作：A∩B。

(3)补集：集合A的补集是指在全集U中，但不在A中的元素组成的集合，记作：A。

(4)差集：集合A和集合B的差集是指包含在A中但不在B中的元素组成的集合，记作：AB。

二、函数的概念与性质

1.函数的定义

函数是两个集合之间的特殊对应关系，其中一个集合的每一个元素都对应着另一个集合的唯一元素。记作：f:A→B。

2.函数的性质

(1)单调性：如果对于集合A中的任意两个元素x1和x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则称函数f是单调递增的；当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则称函数f是单调递减的。

(2)奇偶性：如果对于函数f的定义域内的任意元素x，都有f(x)=f(x)，则称函数f是偶函数；如果对于函数f的定义域内的任意元素x，都有f(x)=f(x)，则称函数f是奇函数。

(3)周期性：如果存在一个非零实数T，使得对于函数f的定义域内的任意元素x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f是周期函数，T称为函数f的周期。

三、指数函数与对数函数

1.指数函数

(1)当a1时，函数单调递增；当0a1时，函数单调递减。

(2)函数图像过点(0,1)。

(3)函数图像在y轴右侧无限逼近x轴，在y轴左侧无限逼近y轴。

2.对数函数

(1)当a1时，函数单调递增；当0a1时，函数单调递减。

(2)函数图像过点(1,0)。

(3)函数图像在y轴右侧无限逼近x轴，在y轴左侧无限逼近y轴。

(4)函数的定义域为正实数集。

四、三角函数

1.三角函数的定义

(1)正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。

(2)正弦函数和余弦函数的值域为[1,1]，正切函数的值域为实数集。

(3)正弦函数和余弦函数是奇函数，正切函数是奇函数。

2.三角函数的图像

(1)正弦函数的图像是一条波浪线，周期为2π，振幅为1，相位为0。

(2)余弦函数的图像也是一条波浪线，周期为2π，振幅为1，相位为π/2。

(3)正切函数的图像是一条折线，周期为π，振幅为无穷大，相位为0。

五、数列的概念与性质

1.数列的定义

数列是由按照一定顺序排列的一列数组成的序列。数列中的每一个数称为数列的项，数列的第n项称为数列的第n项。

2.数列的性质

(1)等差数列：如果数列中任意相邻两项的差是常数，那么这个数列称为等差数列。

(2)等比数列：如果数列中任意相邻两项的比是常数，那么这个数列称为等比数列。

(3)数列的极限：如果数列的项随着项数的增加而无限接近于某个常数，那么这个常数称为数列的极限。

六、复数的概念与运算

1.复数的定义

复数是由实数和虚数组成的数，记作a+bi，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，满足i^2=1。

2.复数的运算

(1)加法：两个复数相加，实部相加，虚部相加。记作：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

(2)减法：两个复数相减，实部相减，虚部相减。记作：(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i。

(3)乘法：两个复数相乘，实部相乘，虚部相乘，再减去实部的平方。记作：(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i。

(4)除法：两个复数相除，先将除数乘以除数的共轭复数，然后按照乘法法则进行计算。记作：(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bcad)/(c^2+d^2)]i。

七、解析几何

1.直线

(1)直线的方程：一般式为ax++