复变函数第二章.pptVIP

第二章复变函数的积分

本章介绍复变函数的积分概念，解析

函数积分的主要性质.重点是Cauchy积分

定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导

数公式.

§2.1复变函数的积分

1积分的概念

2积分存在条件及性质

3积分的计算

2.1.1积分的概念

定义2.1设C是复平面上以z0为起点,Z为终

有向简单连续曲线，f(z)是C上的复变函数.

在C上依次取分点

z,z,,z,

01k1yZ

C

z

zk,,zn1,znZ,n1

z

把曲线分割为个小段k

Cn.zk

zz1

0z12

(如图)ox

在每个小弧段zk1zkk1,2,,n上任取

一点n(k1,2,,n),做和数

n

Snf(k)zk,

k1

其中，

zkzkzk1

yZ

k1,2,,n.C

zn1

k

令zk



12zk

zz1

0z12

maxzk.

1knox

如果分点的个数无限增多，并且极限

n

limSnlimf(k)zk

00

k1

存在,则称该极限值为函数f(z)在曲线C上的积分,

并记作f(z)dz,即

C

n

f(z)dzlimf(k)zk.

C0

k1

如果C是闭曲线，经常记作f(z)dz.

C

当C是实轴上的区间a,b,方向从a到b,并且

f(z)为实值函数，那么这个积分就是定积分.

2.1.2积分存在的条件及积分性质

定理2.1设C是分段光滑(或可求长)的有向

曲线，f(z)u(x,y)iv(x,y)在C上连续，则

f(z)dz存在，并且

C

nn

f(k)zk[u(k,k)xkv(k,k)yk]

k1k1

n

i[v(k,k)xku(k,k)yk]

k1

f(z)dzudxvdyivdxudy.

CCC

f(z)dzudxvdyivdxudy

CCC

从形式上可以看成

f(z)dz(uiv)(dxidy)

CC

udxivdxiudyvdy

C