河南省郑州市2024−2025学年高二上学期10月月考数学试卷[含答案].docx

河南省郑州市2024?2025学年高二上学期10月月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

2．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

3．已知，若不能构成空间的一个基底，则（????）

A．3 B．1 C．5 D．7

4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（???）

A． B．

C． D．

5．台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（????）

A．1h B． C．2h D．

6．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

7．直线与曲线恰有1个公共点，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．或

8．在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（????）

A．2 B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．以下四个命题为真命题的是（????）

A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为

B．直线的倾斜角的范围是

C．已知，，则边的中垂线所在的直线的方程为

D．直线关于对称的直线方程为

10．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数（且）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，，圆上有且只有一个点满足，则的取值可以是（????）

A．1 B．4 C．3 D．5

11．已知正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的动点.若直线与平面所成角为，则下列说法正确的是（????）

A．任意点E，F，二面角的大小为

B．任意点E，F，点C到面的距离为32

C．存在点E，F，使得直线与AD所成角为

D．存在点E，F，使得线段长度为

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知点到直线和直线的距离相等，则．

13．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱上的动点.若异面直线互相垂直，则.

14．已知实数满足，，，则的最大值为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知的顶点，线段的中点为，且.

(1)求的值；

(2)求边上的中线所在直线的方程.

16．如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，.

??

(1)证明：；

(2)若，求点B到平面的距离.

17．已知圆，直线．

(1)若直线l与圆O相切，求m的值；

(2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程．

18．在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

19．一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度.

(1)已知为直角边为1的等腰直角三角形，其中，求分别以三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；

(2)已知正方体的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和外接圆构成的几何系统的区径；

(3)已知正方体的棱长为2，求正方形内切圆和正方形内切圆构成的几何系统的区径.

参考答案

1．【答案】B

【详解】因为直线的一个方向向量为，

所以直线的斜率，

故直线的倾斜角为．

故选：B．

2．【答案】C

【详解】由题意，圆心坐标为，可知AB错误；

设圆心半径为，且圆心到轴的距离为，

则由圆与轴相切可得，

故圆的方程为：.

故选：C.

3．【答案】B

【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.

【详解】∵不能构成空间的一个基底，

共面，

存在，使，

即，

解得.

故选.

4．【答案】B

【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点，则，

平面的法向量为，，

所以该平面的方程为.

故选：B.

5．【答案】C

【详解】

如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，

以为圆心，为半径作圆，

则圆的方程为，

当台风进入圆内，则城市处于危险区，

又台风的运动轨迹为，

设直线与圆的交点为，，

圆心到直线的距离，

则，

所以时间，

故选：C.

6．【答案】D

【详解】取的中点，连接，由四边形为菱形，，

得，

又平面平面，且平面平面，平面，

所以平面，又四边形为正方形，

故以为坐标原点，为轴建立如图空间直角坐标系，

设，则，

故，

所以，

即直线所成角