北师大版数学九上同步讲义专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）（解析版）.docx

专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.反比例函数图象的画法（重点）

知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）

知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）

【方法二】实例探索法

题型1.反比例函数的图象与性质的应用

题型2.反比例函数与图形面积问题

题型3.利用反比例函数图象的对称性解题

题型4.创新题

题型5.反比例函数与几何图形的综合

【方法三】仿真实战法

考法1.反比例函数的比例系数k的几何意义

考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小

【方法四】成果评定法

【学习目标】

能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。

理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。

理解反比例函数中的比例系数k的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。

【知识导图】

【倍速学习四种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.反比例函数图象的画法（重点）

（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；

（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；

（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；

（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．

【例1】（2022春·全国·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数与的图象.

【分析】用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线．

【详解】解：列表如下：

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2

-4

-8

8

4

2

2

4

8

-8

-4

-2

描点、连线，如图所示.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．

知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）

1、反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

注意：

（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；

（2）在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．

2.反比例函数的性质

（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；

（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；

注意：

（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.

（2）反比例的图像关于原点的对称

【例2】（2022秋?南华县期末）反比例函数与一次函数y＝kx+1在同一坐标系的图象可能是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解答】解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，由一次函数的图象可知k＜0，两结论矛盾，故本选项错误；

B、由反比例函数的图象可知，k＜0，由一次函数的图象可知k＞0，故本选项正确，符合题意；

C、由反比例函数的图象可知，k＜0，由一次函数的图象可知k＞0，故本选项错误，不符合题意；

D、由反比例函数的图象可知，k＞0，由一次函数的图象可知k＜0，由一次函数在y轴上的截距可知k＝﹣1，故本选项错误．

故选：B．

【变式】（2022秋?大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解答】解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项A、C不符合题意，选项B符合题意；

k＜0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D不符合题意．

故选：B．

【例3】（2023?瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（）

A．x≥1或x＜﹣2 B．x≥1或x≤﹣2

C．0＜x≤1或x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x≥1

【答案】A

【