《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 9-5 隐函数的求导公式.pptx

第九章多元函数微分学

第五节隐函数的求导公式一、一个方程的情形二、方程组时的情形三、小结

在一元函数微分学中，我们讨论了如果一个二元方程程具备什么条件时能够确定一个隐函数，并给出可以确定一个隐函数，不对这个隐函数显化而求其导数的问题。本节我们将研究二元方程及三元方一元隐函数和二元隐函数的求导公式.

在实际中，对于一个二元方程函数，未必能唯一确定一个隐函数.意的x,y都有两个值，在点(1,0)附近对任与之对应.因此，在点(1,0)附近该方程不能确定一个隐函数.比如方程隐函数存在定理1设函数在点的某一邻域内有定义，（2）及连续，且则在的某一邻域内由方程能唯一的确定一个具有连续导数的函数，且满足并有为此有隐函数存在的条件：（1）并且满足一、一个方程的情形

关于隐函数存在性的证明省略，我们仅对公式作如下推导.将由方程所确定的隐函数代入该方程中，得将方程的两端分别对x求导，左端利用链式法则得由于及连续，因此存在的一个邻域，在这个邻域内，于是得

例1已知方程确定y是关于x的函数，求解法2令则应用隐函数求导公式，有解法1将方程两边分别对x求导，注意y是x的函数，得解法1为直接法；解法2为公式法；公式法是由直接法推导出来的！

解令则应用隐函数求导公式，有再求导，有例2设方程在(0,1)点附近确定y是关于x的函数，求与在点(0,1)的导数.也可以用直接法计算；公式法只适用于一阶导数！

以上的结论我们可以推广到三元方程F(x,y,z)=0的情形，即三元方程F(x,y,z)=0在一定条件下，可以确定一个二元函数.隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)=0在点的某一邻域内，且满足（1）（2）及连续，且则在的某一邻域内由方程能唯一的确定一个具有连续导数的函数，且满足并有

与定理1相同，我们仅对公式作如下推导.将由方程所确定的隐函数代入该方程中，得将方程的两端分别对x和y求导，左端利用链式法则，得由于及连续，因此存在的一个邻域，在这个邻域内，于是得

例3设函数是由方程确定的二元函数，求解令则于是，有应用隐函数求导公式，有也可以用直接法计算；公式法只适用于一阶导数！

例4设函数是由方程确定的二元函数，求解令则应用隐函数求导公式，有也可以用直接法计算！

二、方程组的情形在一个方程情形的基础上，增加方程中的变量和方程的个数，研究一个方程组所确定隐函数时的情形。假设方程组如果上述方程组确定了两个单值且具有连续偏导数的二元函数一般地，方程组的四个变量中只能有两个变量独立变化，因此方程组就有可能确定两个二元函数。为了求出偏导数，与一个方程时的情形类似，对方程组中的每个方程两边分别对自变量x和y求导，即可求出偏导数.

对于方程组将方程组确定的隐函数代入有各方程的两边对x求偏导数，有，利用克莱姆法则，可求解方程组中的.雅可比行列式同理，可求出直接法！

例5求由方程组所确定的隐函数的偏导数解将方程组的各方程的两边对x求偏导数，注意到这里x,y是相互独立的，u,v是x,y的函数．有当雅可比行列式时，

三、小结1、一个方程的情形(1)直接法求(2)公式法(1)直接法求(2)公式法2、方程组的情形直接法求导即可