2024_2025学年新教材高中数学阶段提升课第四课空间向量与立体几何学案北师大版选择性必修第一册.docVIP

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阶段提升课第四课空间向量与立体几何

思维导图·构建网络

考点整合·素养提升

题组训练一空间向量的运算

1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，则x＝()

A．(0，3，－6)B．(0，6，－20)

C．(0，6，－6)D．(6，6，－6)

【解析】选B.由b＝eq\f(1,2)x－2a得x＝4a＋2b，

又4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0，6，－20)，

所以x＝(0，6，－20).

2．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AC上，且AM＝eq\f(1,2)MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝()

A．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)cB．a＋eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)c

C．eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)cD．－eq\f(1,3)a＋b＋eq\f(1,3)c

【解析】选A.因为M在AC上，且AM＝eq\f(1,2)MC，N在A1D上，且A1N＝2ND，

所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，＝eq\f(2,3)．

又ABCD-A1B1C1D1为平行六面体，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，

所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，＝b－c，

所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋＋＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋＋eq\f(2,3)

＝－eq\f(1,3)(a＋b)＋c＋eq\f(2,3)(b－c)＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.

3．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.

(1)求向量a，b，c；

(2)求a＋c与b＋c所成角的余弦值．

【解析】(1)因为向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，

且a∥b，b⊥c，

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,1)＝\f(1,y)＝\f(2,－2)，,3＋y－2z＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，,z＝1，))

所以向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1).

(2)因为a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，

所以(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，

|a＋c|＝eq\r(22＋22＋32)＝eq\r(17)，|b＋c|＝eq\r(42＋02＋（－1）2)＝eq\r(17)，

所以a＋c与b＋c所成角的余弦值为eq\f(（a＋c）·（b＋c）,|a＋c||b＋c|)＝eq\f(5,17).

空间向量的运算

(1)坐标运算应熟记运算公式．

(2)向量运算：用已知向量表示未知量时，通常借助图形的几何性质，利用空间向量基本定理及向量的平行四边形法则和三角形法则．

题组训练二空间向量与线面位置关系

1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()

A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD

B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD

C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD

D．不存在DQ与平面A1BD垂直

【解析】选D.以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，

C1(0，1，0)，B(1，0，1)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，P(0，2，0)，＝(1，0，1)，

＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)