压轴大题12 数据分析解决概率与统计综合问题（教师版）.docx

压轴大题12数据分析解决概率与统计综合问题

压轴秘籍

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数字样本特征

众数：在一组数据中出现次数最多的数

中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数

平均数：，反映样本的平均水平

方差：

反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；

越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定；

标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样

极差：等于样本的最大值最小值

求随机变量X的分布列的步骤：

(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；

(2)求X取每个值的概率；

(3)写出X的分布列；

(4)根据分布列的性质对结果进行检验.

还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.

求随机变量的期望和方差的基本方法：

（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；

（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；

（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，.

4.求解概率最大问题的关键是能够通过构造出不等关系，结合组合数公式求解结果

5.线性回归分析解题方法：

（1）计算的值；（2）计算回归系数；（3）写出回归直线方程.

线性回归直线方程为：，，

其中为样本中心，回归直线必过该点

（4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱）

，正相关；，负相关

独立性检验解题方法：

（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性

独立性检验计算公式：

压轴训练

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一、解答题

1．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求

(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；

(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求得答案；

（2）方法一：根据女生参加活动的人数确定变量的可能取值，计算每个取值对应的概率，可得变量的分布列，即可求得期望；

方法二：分别计算出一名女生和一名男生参加活动可获得分数的期望，设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，，计算出变量Y的期望，即可求X的期望.

【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件B．

则，，

所以．

（2）方法一:“选取的两人中女生人数为i”记为事件，，

则，，．

由题意知X的可能值为，“得分为分”分别记为事件，，，，，则

，，；

，，；

，，．

；

；

；

；

，

所以X的分布列为

X

20

30

40

50

60

P

所以．

方法二：

根据题意，一名女生参加活动可获得分数的期望为，

一名男生参加活动可获得分数的期望为．

设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，

，

则，，．

所以Y的分布列为

Y

0

1

2

P

则有，

所以．

【点睛】难点点睛：本题考查了条件概率的计算，比较基础，第二问考查随机变量的期望的求解，求解的思路并不困难，但难点在于要根据变量的取值的可能情况，计算每种情况相应的概率，计算较复杂，计算量较大，需要思维缜密，计算仔细。

2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球．

(1)求在前4球中，甲领先的概率；

(2)12球过后，双方战平，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X，求X的分布列．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)分别求出甲与乙的比分是和的概率，即可得答案；

(2)依题意，甲或获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜，分别求出5：0和5：2的概率，即可得X的分布列.

【详解】（1）解：甲与乙的比分是的概率为

比分是的概率为，

故前4球中，甲领先的概率

（2）解：依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得胜利，

则甲或获胜，即