压轴小题02 巧寻妙设构造函数比较指对幂等函数值大小关系（教师版）.docx

压轴小题02巧寻妙设构造函数比较指对幂等函数值

大小关系

压轴秘籍

压轴秘籍

构造函数的重要依据

常见构造类型

常见的指对放缩

，，，

常见的三角函数放缩

其他放缩

，，

，，

，

，

放缩程度综合

，

方法技巧

1构造相同函数，比较不同函数值

2构造不同函数，比较相同函数值

3.构造不同函数，比较不同函数值

这个时候，不等式放缩就是首选之道了!

4.先同构，再构造，再比较

当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小.

拓展1．泰勒公式：

泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法．

【定理1】若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式：

其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量．

拓展2．常见函数的泰勒展开式：

（1），其中；

（2），其中；

（3），其中；

（4），其中；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）．

由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：

，，，

，，，

，，．

拓展3．常见函数的泰勒展开式：

结论1．

结论2．

结论3（）．

结论4．

结论5；；．

结论6；

结论7

结论8．

结论9．

压轴训练

压轴训练

一、单选题

1．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知，，．则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，，利用导数可求得在上的单调性，从而确定，，结合，令即可得到大小关系.

【详解】令，，则，

在上单调递增，，即；

令，，则，

在上单调递增，，即；

又当时，，当时，；

则当时，，即.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查采用构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据的形式的共同点，准确构造函数和，利用导数求得函数单调性后，通过赋值来确定大小关系.

2．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）设，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，先构造函数，比较，再构造函数，通过求导，判断单调性，比较与的大小，最后构造函数，进而确定与的大小关系，从而得出结果.

【详解】令，则，所以在上单调递减，所以，也即，

令，则，

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，故当时有，

所以，

令，则，

因为，

当时，，所以，

函数在上单调递减，所以，也即，

所以，故，

故选：B.

3．（2023秋·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知，其中e为自然对数的底数，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由，得，再由，得，由，得，然后构造函数，利用导数判断其单调性，可比较出的大小，从而可得答案.

【详解】令，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最小值，即，

所以，

所以﹔

因为，所以，

令（），则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最小值，所以，

所以，所以：

设

设

在上，，递减，所以

所以，递增，

所以，即

所以

综上：

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是根据合理构造函数，通过函数的单调性比较大小，考查数学转化思想，属于较难题.

4．（2023秋·江苏南京·高三南京市第十三中学校考期末）设，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】法一：构造，求导分析单调性，结合可得，再构造，求导分析单调性可得，进而判断出即可.

【详解】法一：若，令

在上单调递增，

，即，比较与的大小，先比较与

若

令

时单调递减，.

法二：秒杀

另一方面由时，，

.

故选：B

5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.

【详解】因为，定义域关于原点对称，

，

所以为上的偶函数，

当时,，设，

则，，，

所以即在上单调递减,所以,

所以在上单调递减,又因为为偶函数,

所以在上单调递增，

又因为,,

又因为,

因为,，所以,

所以，即,

所以,

所以,

即.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用