专题22不等式选讲（解析版） - 大数据之十年高考真题（2014-2025）与优质模拟题（新高考卷与全国理科卷）.docxVIP

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷）

专题22不等式选讲

1．【2024年甲卷理科第23题】已知实数a,b满足

(1)证明：2a

(2)证明：a?2

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】（1）因为2a

当a=b时等号成立，则2a

因为a+b≥3，所以2

（2）a?

=

2．【2023年高考全国乙卷理第23题】已知fx

(1)求不等式fx

(2)在直角坐标系xOy中，求不等式组f(

【答案】(1)[?

(2)8.

【详解】（1）依题意，f(

不等式f(x)≤6?x化为：

解x23x?2≤6?x，得无解；解0≤x≤2

所以原不等式的解集为：[

（2）作出不等式组f(x)

??

由y=?3x+2x+y=6，解得A(?

所以△ABC的面积S△ABC

3．【2023年高考全国甲卷理第23题】设a0，函数f

(1)求不等式fx

(2)若曲线y=fx与x轴所围成的图形的面积为2，求a

【答案】(1)a

(2)2

【详解】（1）若x≤a,则f(

即3xa,解得xa3

若xa,则f(

解得x3a,即

综上,不等式的解集为a3

（2）f(

画出f(x)的草图,则f(x

△ABC的高为a,Aa

所以S△ABC=1

4．【2022年高考全国乙卷理第23题】已知a，b，c都是正数，且a3

(1)abc≤1

(2)ab+c

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】（1）证明：因为a0，b0，c0，则a32

所以a3

即abc12≤13，所以abc≤

（2）证明：因为a0，b0，

所以b+c≥2bc，a+c≥2

所以ab+c≤a2

a

当且仅当a=b=c时取等号．

5．【2022年高考全国甲卷理第23题】已知a，b，c均为正数，且a2

(1)a+b+2

(2)若b=2c，则

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有a2

所以a+b+2c≤3，当且仅当a=b=

[方法二]：基本不等式

由a2+b2≥2ab

当且仅当a=b=2c=1

（2）证明：因为b=2c，a0，b0，

即0a+4c≤

由权方和不等式知1a

当且仅当1a=24c

所以1a

6．【2021年高考全国乙卷理第23题】已知函数fx

（1）当a=1时，求不等式f

（2）若fx?a，求

【答案】（1）?∞,?4

【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法

当a=1时，fx=x?1+x+

则fx≥6表示数轴上的点到1和?

当x=?4或x=2时所对应的数轴上的点到

∴数轴上到1，?3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是x≤?4

所以fx≥6

[方法二]【最优解】：零点分段求解法

??当a=1时，f

当x≤?3时，(1?x)

当?3x1

当x≥1时，(x?1)

综上，|x?1|+

（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值

依题意fx?a，即

x?a+

当且仅当a?xx+

∴fx

故a+3

所以a+3?a或

解得a?3

所以a的取值范围是?3

[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由|x?a|是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得f(

[方法三]：分类讨论+分段函数法

当a≤?3

f

则[f(x

当a?3

f

则[f(x)]

综上，a的取值范围为a?3

[方法四]：函数图象法解不等式???

由方法一求得fxmin=a+3

即y=?a?3,a?

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点M?

由图易知|a+3|?a

7．【2021年高考全国甲卷理第23题】已知函数f(

（1）画出y=fx和y=g

（2）若fx+a≥gx

【答案】（1）图像见解析；（2）a≥

【详解】（1）可得f(

g(

（2）f(

如图，在同一个坐标系里画出fx

y=fx+a是y=fx平移了

则要使f(x+a)≥g(

当y=fx+a过A12,4时，|1

则数形结合可得需至少将y=fx向左平移112个单位，

8．【2020年新课标Ⅲ卷理科第23题】设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法

∵a+b+c

∴ab+bc+ca=?1

∵abc=1,∴a,b,c均不为

［方法二］：消元法

由a+b+c=0得b=?a+c，则ab+bc+ca=ba+c

又abc=1，所以ab+bc+ca

［方法三］：放缩法

方式1：由题意知a≠0,a+b+c=0,

方式2：因为a+b+c=0

所以0

=

≥1

即ab+bc+ca≤0，当且仅当a=b=c=

又abc=1，所以ab+bc+ca

［方法四］：