人教A版数学(选择性必修三讲义)第04讲6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质(学生版+解析).docxVIP

第04讲6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质

课程标准

学习目标

①理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式。

②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。

③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。

④理解二项式系数的性质。

⑤会用赋值法求展开式系数的和。

1.要求能运用二项式定理求解二项展开式；

2.会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数；

3.能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题；

4.能理解二项式系数的性质；

5.掌握二项式系数的增减性，灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和.

知识点01：知识链接

（1）

（2）

知识点02：二项式定理及相关概念

（1）二项式定理

一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.

（2）二项展开式

公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.

【即学即练1】（2023上·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：

(1)；(2)．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【详解】（1）

.

（2）

.

（3）二项式系数与项的系数

二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.

【即学即练2】（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在二项式的展开式中，二项式系数最大的是（????）

A．第3项 B．第4项

C．第5项 D．第3项和第4项

【答案】B

【详解】二项式的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.

故选：B.

【即学即练3】（2023上·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）若的二项展开式中所有二项系数的和等于，则在的展开式中，的系数是．

【答案】

【详解】因为的二项展开式中所有二项系数的和等于，

所以，则，

则展开式的通项为（其中且），

令，解得，

所以展开式中的系数为．

故答案为：．

（4）二项式定理的三种常见变形

①

②

③

知识点03：二项展开式的通项

二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.

知识点04：二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：

②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；

③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.

④各二项式系数和：；

奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则该展开式各项的二项式系数和为（????）

A．81 B．64 C．27 D．32

【答案】D

【详解】，，

∴，解得，

∴该展开式各项的二项式系数和为.

故选：D

【即学即练5】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．

【答案】15

【详解】因为展开式的二项式系数之和为64，

所以，所以，

所以二项式为，

所以第项展开式为，

若求常数项，则令，所以，

所以，即常数项为15.

故答案为：15.

题型01求型的展开式

【典例1】（2023下·北京通州·高二统考期中）二项式的展开式为（????）

A． B．

C． D．

【典例2】（2023上·高二课时练习）求的二项展开式．

【典例3】（2023·全国·高二专题练习）利用二项式定理展开下列各式：

(1)；

(2)．

【变式1】（2023·全国·高二课堂例题）写出的展开式．

【变式2】（2023·全国·高二专题练习）求的展开式．

题型02二项展开式的逆用

【典例1】（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）（??）.

A．1 B．－1

C．(－1)n D．3n

【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中）.

【典例3】（2023上·高二课时练习）化简．

【变式1】（2023上·高二课时练习）化简：设，则．

【变式2】（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知，则的值为．

【变式3】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）的值是.

题型03二项展开式中的特定项或特定系数问题

【典例1】（2023·四川南充·统考一模）二项式的展开式中常数项为（????）

A． B．60 C．210 D．

【典例2】（2023下·山东济宁·高二统考期中）的展开式中的系数是（????）

A．126 B．125 C．96 D．83

【