北师大版数学九下同步讲义专题07二次函数的图象与性质（2）（4个知识点2种题型1个易错点）（解析版）.docx

专题07二次函数的图象与性质（2）（4个知识点2种题型1个易错点）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.二次函数的图象及性质（重点难点）

【方法二】实例探索法

题型1.由抛物线的顶点坐标、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围

题型2.二次函数的增减性问题

题型3.抛物线的对称性

题型4.根据条件确定参数的取值范围

题型5.二次函数与其他函数相结合的双图象问题

题型6.二次函数图象与图形的综合

【方法三】差异对比法

易错点：不能根据二次函数的各项系数确定二次函数的大致图象

【方法四】成果评定法

【学习目标】

掌握二函数图象的画法及性质。

会计算二次函数图象的顶点坐标，图象的开口方向，图象的对称轴。

会用二次函数的图象与性质解决相关的计算题。

重点：二次函数的图象及性质。

难点：二次函数性质的应用。

【倍速学习四种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.二次函数的图象及性质（重点难点）

二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．

任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式．

对配方得：．

由此可知：

抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）．

当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；

当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．

【例1】对于二次函数：

（1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？

（2）求出此抛物线与x、y轴的交点坐标；

（3）当x取何值时，y随着x的增大而减小．

【答案】（1）开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为，函数有最大值，最大值为；

（2）、；（3）．

【解析】（1），∴函数图像开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为，函数有最大值，最大值为；

（2）把代入解析式得，∴与轴交于；把代入解析式得，∴与轴交于；

（3）∵图像开口向下，∴在对称轴的右侧随着的增大而减小，即时，随着的增大而减小．

【总结】本题考查了二次函数的图像与性质．

【变式1】.已知二次函数，若，，，那么它的图像大致是 （）

A

A．

B．

C．

D．

x

y

x

y

x

y

x

y

【答案】A．

【解析】∵，∴图像开口向下，又∵，∴对称轴为直线，在轴左侧，∵，∴抛物线与轴交于正半轴．

【总结】本题考查了二次函数的图像与性质，当、同号时，对称轴在轴左侧，当、异号时，对称轴在轴右侧，即“左同右异”，熟记系数与图像之间 的关系 是做题的关键．

【变式2】二次函数中，，，，则其图像的顶点在第____ 象限．

【答案】四．

【解析】∵，，∴图像开口向上，对称轴在轴右侧，又∵，∴顶点在第四象限．

【总结】本题考查了二次函数的图像．

【方法二】实例探索法

题型1.由抛物线的顶点坐标、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围

1．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）二次函数的部分图像如图所示，对称轴为，且经过点，下列说法：①；②；③；④若、是抛物线上的两点，则；⑤（其中），正确的结论有（）

A．②③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤

【答案】B

【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为，推导出，、以及a与b之间的关系：；根据二次函数图像经过点，可得出；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，y有最大值．

【详解】解：∵抛物线开口向下，

∴，

∵抛物线对称轴为直线，

∴，

∵抛物线与y轴交点在x轴上方，

∴，

∴，①正确；

∵抛物线经过，对称轴为直线，

∴抛物线经过，即，②正确；

∵时，，

∴③不正确；

∵，

∴到对称轴距离小于到对称轴距离，

∴，④不正确；

∵抛物线开口向下，对称轴是直线，

∴当时，抛物线y取得最大值，

当时，，且，

∴，

即，

故⑤正确；

综上，结论①②⑤正确，

故选：B．

【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系及二次函数图像上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图像之间的联系．

题型2.二次函数的增减性问题

2.已知抛物线，当x1时，y随着x的增大而______；当x1时，y随着x的增大而______．

【答案】减小；增大．

【解析】∵抛物线开口向下，在对称轴的右侧二次函数的y值随x的增大而减小，在对称轴

的左侧二次函数的y值随x的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而减小，当时，二次函数的值随的增大而增大．

【总结】本题考查了二次函数的性质．

3.请选择一组a、b、c的值，使二次函数（）的