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压轴专题09计数原理与概率统计综合问题小题综合

一、单选题

1．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率.

【详解】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种，

所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种，

任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：

当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种；

2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种；

所以个位是偶数共有20种；

同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，

所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是.

故选：C

【点睛】关键点点睛：对任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻做计数时，注意讨论特殊位置上放置偶数或奇数，进而分1、2是否在该位置的情况计数.

2．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）设随机变量（且），最大时，（????）

A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.

【详解】随机变量，则，

因最大，则有，

即，，

整理得，解得，

而，则，所以.

故选：C

【点睛】关键点睛：熟练掌握组合数公式，这是正确计算的关键．

3．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）从这100个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为,随机抽取四个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为,则的后两位数字为（????）

A．89 B．51 C．49 D．13

【答案】C

【分析】先根据抽取三个数为等差数列,求出公差为1,2,时,满足题意的数列的个数,通过等差数列前n项和公式,求出即可,同理求出的值,因为要求的是,即的后两位,将写为,用二项式定理展开可得的后两位与后两位一致,将写为,利用二项式定理展开,因为的后两位一定是00,则的后两位数与的后两位一致,计算结果即可.

【详解】解:由题知,当抽取三个不同的数,成等差数列时,记公差为,

当时,数列可为:

共计98个,

当时,数列可为:

共计96个,

当时,数列可为:

共计94个,

,

当时,数列可为:

共计4个,

当时,数列可为:

共计2个,

故

,

当抽取四个不同的数,成等差数列时,记公差为,

当时,数列可为:

共计97个,

当时,数列可为:

共计94个,

当时,数列可为:

共计91个,

,

当时,数列可为:

共计4个,

当时,数列可为:

共计1个,

故

,

所以

,

所以的后两位与的后两位一致,

,

因为

,

因为的后两位一定是00,

故的后两位数与的后两位一致,

因为,

故的后两位数为49,即的后两位数为49.

故选:C

【点睛】思路点睛:该题考查数列和二项式定理综合问题,属于难题,关于数列问题的思路点睛有:

(1)数列新定义问题,先写出几项找到规律;

(2)根据规律,写出相对应的式子;

(3)利用累加,累乘,公式法等进行解决问题.

4．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（????）

A．48 B．54 C．60 D．72

【答案】C

【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.

【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，

共有种方法；

由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，

所以由种方法；

按照分步乘法原理，共有种方法；

故选：C.

5．（2022·山东临沂·统考一模）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（????）

A．720 B．1440 C．2280 D．4080

【答案】C

【分析】以间接法去求解这个排列问题简单快捷.

【详解】一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.

这7个数字按题意随机排列，可以得到个不同的数字.

当前两位数字为11或12时，得到的数字不