- 压轴专题12 导数综合问题大题综合 教师版.docx

压轴专题12导数综合问题大题综合

1．（2023·福建厦门·统考二模）已知函数（a∈R）．

(1)讨论的单调性：

(2)证明：对任意，存在正数b使得．且2lna+b＜0．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）首先求函数的导数，分和两种情况，讨论函数的单调性；

（2）由（1）的单调性可知，再通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理证明.

【详解】（1），

当，则，则函数在上单调递减，

若，令，得，当，，单调递减，

当时，，单调递增，

综上可知，当，函数在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）由（1）可知，当时，，且在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，

因为，

设，

，

所以在上单调递减，所以，即，

由零点存在性定理知，使得，

取，则，且.

【点睛】本题考查函数的单调性，导数及其应用，考查推理，论证，运算能力，考查函数与方程思想，化归于转化思想，分类与整合思想，本题的关键是根据，构造函数，再根据导数判断，

2．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)对任意的，都有，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出时的解析式并求出，利用导数的几何意义求出切线斜率，再求出切点坐标，然后利用点斜式即可求出切线方程；

（2）构造函数，并求，结合题意至少可得，先证明在上单调递增，再证明时，成立即可．

【详解】（1）当时，，则．

所以，，

故所求切线方程为，即．

（2）设，

则．

因为，所以至少满足，即．

设．

因为，，所以在上单调递增，

所以．

设，

则．

因为，所以，，

则在上恒成立，即在上单调递增，

所以，即对任意，都有．

故a的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：破解此类题的关键：①是定义域优先，求解有关函数的单调性时，需注意定义域优先；②是活用导数，对函数求导，利用导数的符号判断函数的单调性；③是会转化，会把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，通过构造函数，借用导数，判断函数的单调性，求其最值，即可得参数的取值范围，必要时可先给出所求参数的取值范围，再证明参数取最值时成立即可．

3．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）分类讨论并利用导数去判定函数的单调性即可解决；

（2）构造新函数并利用导函数与函数单调性的关系去证明转化后的不等式即可解决.

【详解】（1）的定义域为.

当时，在上单调递增；

当时，由，得或（舍去），

当时，，函数单调递增，

当，，函数单调递减，

综上：当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，，由（1）知，在单调递增，

在单调递减，所以

又，所以在区间上存在零点，

又因为在单调递减，故在区间上存在唯一的零点；

因为，所以在区间上存在零点，

又因为在单调递增，所以在区间存在唯一的零点.

所以，函数有且仅有两个零点，不妨设.

要证，只需证明，

又因为，且，

所以只需证明，又，只需证明，

即证明，

构造函数，，所以

，

所以在区间上单调递增，所以，

所以，从而得证，所以得证.

【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解法常用的有以下两种：

(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式．

(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．

4．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）已知函数（，为自然对数的底数），.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若有两个零点，求实数的取值范围；

(3)若不等式对，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3).

【分析】(1)由导数的几何意义求出直线的斜率，再用点斜式即可求出切线方程；

(2)分离常量，求零点，转化成两函数的交点；

(3)通过放缩，将原命题等价于对一切恒成立，再通过分离常量，构造函数，利用导数求出的最小值，即可求出结果.

【详解】（1）

，，，∴

又∵，∴在处的切线方程为.

（2）∵有两个零点，∴关于的方程有两个相异实根，

∵，∴，有两个零点即有两个相异实根.

令，则，

∵得，得，

∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴，

又∵，∴当时，，

当时，，当时，，有两个零点时，实数的取值范围为.

（3）∵，，所以

∴原命题等价于对一切恒成立，

∴对一切恒成立，

令，∴，

令，，

则，∴在区间上单调递增，

又，，

∴使，即①，

当时，，即在区间上单调递减，

当时，，即在区间上单调递增，

∴

由①知，

∴，

令，在恒成立，

所以函数