北师大版数学九上同步讲义专题15利用相似三角形测高（3个知识点2种题型1种中考考法）（解析版）.docx

专题15利用相似三角形测高（3个知识点2种题型1种中考考法）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.利用阳光下的影子测量旗杆的高度（重点）

知识点2.利用标杆测量旗杆的高度（难点）

知识点3.利用镜子的反射测量旗杆的高度（重点）

【方法二】实例探索法

题型1.求影子在坡（或墙）面上时物体的高度

题型2.利用相似测量河宽

【方法三】仿真实战法

考法.利用相似三角形测物高

【方法四】成果评定法

【学习目标】

掌握几种测量物体高度的方法与原理，能综合运用相似三角形的判定定理和相似三角形的定义解决问题。

通过设计测量旗杆高度的方案，学会将实物图形抽象成几何图形的方法，体会将实际问题转化成数学模型的转化思想。

【知识导图】

【倍速学习四种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.利用阳光下的影子测量旗杆的高度（重点）

【例1】（2022秋·陕西延安·九年级校考期末）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度．

【答案】这棵树的高度为

【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴．

答：这棵树的高度为．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键．

【变式】（2022秋·九年级课时练习）贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为米（结果保留两位小数）。

【答案】1.67

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．

【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设金老师的高度为xm，

则，

解得x=1.67．

故答案为：1.67．

【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力．

知识点2.利用标杆测量旗杆的高度（难点）

【例2】（2023·广东佛山·校考三模）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝m．

【答案】7.5

【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小颖同学的身高即可求得树高AB．

【详解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，

∴△DEF∽△DCB，

∴，

∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，

∴由勾股定理求得EF＝0.06m，

∴，

∴BC＝6米，

∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．

故答案为：7.5．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．

【变式】如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面，竹杆顶端离地面，小明到竹杆的距离，竹杆到塔底的距离，求这座古塔的高度．

【答案】古塔的高度是米．

【分析】先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB可知，BH=DG=EF=1.6m，再小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m求出CG的长，由于CD∥AB可得出△EGC∽△EHA，再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH的长，进而得出AB的长．

【详解】∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，

∴BH=DG=EF=1.6m，EG=DF，GH=DB，

∵小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，

∴CG=CD-EF=2.4-1.6=0.8m，

∵CD∥AB，

∴△EGC∽△EHA，DF=2m，DB=33m，

∴，即，

解得AH=14m，

∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m，

答：古塔的高度是15.6米．

【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解答此题的关键．

知识点3.利用镜子的反射测量旗杆的高度（重点）

【例3】（2022秋·九年级单元测试）李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在点（如图所示），人在点正好在镜中看到树尖；第二次他把镜子放在处，人在处正好看到树尖．已知李师傅眼睛距地面的高度为，量得为，为，为，求树高．

【答案】这棵古树的高为10m

【分析】根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，所