北师大版数学九上同步讲义专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）（原卷版）.docx

专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.反比例函数图象的画法（重点）

知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）

知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）

【方法二】实例探索法

题型1.反比例函数的图象与性质的应用

题型2.反比例函数与图形面积问题

题型3.利用反比例函数图象的对称性解题

题型4.创新题

题型5.反比例函数与几何图形的综合

【方法三】仿真实战法

考法1.反比例函数的比例系数k的几何意义

考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小

【方法四】成果评定法

【学习目标】

能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。

理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。

理解反比例函数中的比例系数k的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。

【知识导图】

【倍速学习四种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.反比例函数图象的画法（重点）

（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；

（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；

（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；

（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．

【例1】（2022春·全国·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数与的图象.

知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）

1、反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

注意：

（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；

（2）在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．

2.反比例函数的性质

（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；

（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；

注意：

（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.

（2）反比例的图像关于原点的对称

【例2】（2022秋?南华县期末）反比例函数与一次函数y＝kx+1在同一坐标系的图象可能是（）

A． B．

C． D．

【变式】（2022秋?大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（）

A． B．

C． D．

【例3】（2023?瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（）

A．x≥1或x＜﹣2 B．x≥1或x≤﹣2

C．0＜x≤1或x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x≥1

【变式】（2023?西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（）

A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3

知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）

通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为，与两条坐标轴围成矩形面积为，注意加绝对值时，有正负两个答案．

【例4】（2023?和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k的值为（）

A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4

【变式】如图，矩形ABCD的边CD在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，求矩形ABCD的面积．

A

A

B

C

D

E

O

x

y

【方法二】实例探索法

题型1.反比例函数的图象与性质的应用

1．（2023?株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（）

A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4）D．

2.（2023?西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2