北师大版数学九下同步讲义专题08确定二次函数的表达式（1个知识点4种题型1个易错点）（解析版）.docx

专题08确定二次函数的表达式（1个知识点4种题型1个易错点）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.用待定系数法求二次函数的表达式（重点难点）

【方法二】实例探索法

题型1.用一般式求函数的表达式

题型2.根据抛物线的对称轴确定表达式

题型3.通过列方程的方式求函数的表达式

题型4.借助特殊四边形的顶点坐标求函数的表达式

【方法三】差异对比法

易错点：没有正确运用顶点坐标公式

【方法三】成果评定法

【学习目标】

掌握用待定系数法确定二次函数的表达式的方法。

能确定实际问题中的二次函数的表达式。

会用二次函数解决相关的计算题。

重点：用待定系数法确定二次函数的表达式。

难点：用二次函数解决相关的计算题。

【倍速学习四种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.用待定系数法求二次函数的表达式（重点难点）

一．待定系数法求二次函数解析式

（1）二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；

（2）用待定系数法求二次函数的解析式．

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

二．二次函数的三种形式

二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；

②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；

③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．

【例1】一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．

【解题思路】设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式．

【解答过程】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），

根据题意，得c=0a

解得a=4b=5

∴所求二次函数的解析式为y＝4x2+5x．

【例2】.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．

【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．

【解答过程】解：设这个函数的关系式为y＝a（x+2）2+2，

把点（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1，

解得a=?

所以这个函数的关系式为y=?19（x

【例3】．（2023·广东深圳·三模）如图，抛物线经过点，点，且．

??

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．

（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．

【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且．

∴，

即，

设抛物线解析式为，将代入得，

解得：，

∴抛物线解析式为

（2）解：∵，

∴,

如图所示，过点作轴于点，交于点，

??

设直线的解析式为，将代入得，

解得：，

∴直线的解析式为，

当时，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

【方法二】实例探索法

题型1.用一般式求函数的表达式

1.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．

【解题思路】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．

【解答过程】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得

a?

解得a=2b=

则抛物线解析式为y＝2x2﹣