江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期中考试 数学.docVIP

第一学期期中试卷

高二数学

注意事项

答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1．本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卷交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置．

3．请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设是等差数列的前项和，若，则（）

A.36 B.45 C.54 D.63

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的性质得到，然后求和即可.

【详解】，所以，.

故选：C.

2.圆的圆心到直线的距离为（）

A.0 B.1 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由点到直线的距离公式计算.

【详解】由题意可得圆心坐标为，圆心到直线的距离为．

故选：D．

3.数列中，，，则（）

A.77 B.78 C.79 D.80

【答案】D

【解析】

【分析】利用裂项求和法求得正确答案.

【详解】依题意，，

所以，

由，解得.

故选：D

4.直线，，若两条直线平行，则实数（）

A. B.1 C.3 D.或3

【答案】C

【解析】

【分析】根据两直线平行的条件，列式求解即可.

【详解】因为，，

由可得且，

解得，

故选：C.

5.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线的方程得到直线恒过定点，根据曲线的方程曲线表示半圆，然后结合图形求的范围即可.

【详解】直线恒过定点，

曲线的方程可整理为，，

所以曲线表示以为圆心，半径为1的半圆，图象如下所示：

，为两种临界情况，由题意得，则，

令圆心到直线的距离，解得，则，

所以当时，直线与曲线有两个不同的交点.

故选：A.

6.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由重心坐标公式可得：重心，根据垂直平分线的性质设出外心，根据，求出外心，再求出斜率，利用点斜式即可求出欧拉线方程.

【详解】由重心坐标公式可得：重心，即.

设外心，因为，所以，解得，即：.

，故欧拉线方程为：，即：，

故选：A.

7.已知，，（，），其前项和，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用递推关系构造得是一个以3为首项，2为公比的等比数列，再赋值，结合等比数列的前n项和公式求答案.

【详解】由（，）可得，

已知，，所以，

即是一个以3为首项，2为公比的等比数列，

所以，即，

，，，，，

，

故选B.

8.已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】建立直角坐标系，取点，探讨满足条件的点的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.

【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，如图，

取点，设，当时，，

化简整理得，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

而点在以为圆心，1为半径的圆上，因此，显然点在圆：外，

则，当且仅当为线段与圆的交点时取等号，

而，所以的最小值为.

故选：D

【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点并求出满足条件的点的轨迹是解题的关键.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.下列说法正确的是（）

A.直线的倾斜角为

B.经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为

C.直线与直线之间的距离是

D.直线，，，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】由直线斜率求出倾斜角判断A；求出过原点的直线方程判断B；求出平行线间距离判断C；由两直线垂直求出参数判断D.

【详解】对于A，直线的斜率，则其倾斜角为，A正确；

对于B，过点，且在，