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第三节函数的奇偶性与周期性、对称性

【要点归纳】

一、函数的奇偶性

1．偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．

2．奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．

3．奇、偶函数的特点

(1)奇、偶函数定义域的特点：

由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．

(2)奇、偶函数的对应关系的特点：

①奇函数有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f(－x),f(x))＝－1(f(x)≠0)；

②偶函数有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f(－x),f(x))＝1(f(x)≠0)．

(3)函数奇偶性的三个关注点

①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0．有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；

②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合；

③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．

二、函数的奇偶性的应用

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

(1)若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝0．

(2)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致．

(3)若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．

三、函数奇偶性常用结论

1．如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

2．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

3．在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

四、常见奇偶性函数模型

1．奇函数：(1)函数或函数．

(1)函数．

(2)函数或函数

(3)函数或函数．

注意：关于(1)式，可以写成函数或函数．

2．偶函数：(1)函数．

(2)函数．

(3)函数类型的一切函数．

(4)常数函数

五、函数的周期性

1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a0)．

(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a0)．

【夯实基础练】

1．(2022?北京市首都师范大学附属中学高三(下)开学检测)下列函数中，在为增函数的是()

A． B．

C． D．

【解析】A不正确，在每一个单调区间上增，在不是增函数，时函数不存在；B是对称轴为，在不是增函数；C在为减函数，D求导得可，可知D正确，故选：D．

【答案】D

2．(2022?云南省师范大学附属中学高三第七次月考)下列函数为奇函数的是()

A． B．

C． D．

【解析】A选项，的定义域为，，，故为非奇非偶函数；

B选项，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；

C选项，的定义域为，，故为奇函数；

D选项，的定义域为，，，故为偶函数，故选：C．

【答案】C

3．(2022?黑龙江省哈三中第五次验收)已知函数为奇函数，为偶函数，且，则()

A． B． C． D．

【解析】函数为奇函数，为偶函数，且，则，即，而，联立解得，，所以.故选：C

【答案】C

4．(2022?天津市南开中学高三第一次统练)已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为()

A． B． C． D．

【解析】依题意是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，所以，.故选：A

【答案】A

5．(2022?四川省成都市第七中学高三(下)开学考试)已知是奇函数，则下列等式成立的是()

A． B．

C． D．

【解析】是奇函数，则有，即，故选项A判断正确；选项B判断错误；

把函数的图像向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，可以得到函数的图像，则由函数有对称中心，可知函数有对称中心.

选项C：由，可得函数的周期为2.判断错误；

选项D：由，可得函数有对称轴.判断错误.故选：A