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第三节对数和对数函数

【要点归纳】

一、对数与对数运算

1．对数的定义及相关概念

(1)对数的概念：在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．

(2)对数恒等式＝N.

(3)常用对数：以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg_N.

(4)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln_N.

2．对数的性质

性质1：零和负数没有对数，即N0；

性质2：1的对数为零，即loga1＝0；

性质3：底的对数等于1，即logaa＝1.

3．对数的运算法则：

如果a0，且a≠1，M0，N0，α∈R那么：

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN(a0，a≠1，M0，N0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和；loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2，…，k)．

(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN(a0，a≠1，M0，N0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．

(3)logaMn＝nlogaM(a0，a≠1，M0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．

4．换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1b0，c0且c≠1)．

由换底公式可推出下面两个常用公式：

(1)logbN＝eq\f(1,logNb)或logbN·logNb＝1(N0，且N≠1；b0，且b≠1)；

(2)logbnNm＝eq\f(m,n)logbN(N0；b0，且b≠1；n≠0，m∈R)

二、对数函数及其性质

1．对数函数的定义：一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.

2．对数函数y＝logax(a0且a≠1)的性质与图像

a1

0a1

图象

性质

函数的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)

函数图象恒过定点(1，0)，即恒有loga1＝0

当x1时，恒有y0；

当0x1时，恒有y0

当x1时，恒有y0；

当0x1时，恒有y0

函数在定义域(0，＋∞)上为增函数

函数在定义域(0，＋∞)上为减函数

3．指数函数与对数函数的关系比较

名称

指数函数

对数函数

解析式

y＝ax(a0，且a≠1)

y＝logax(a0，且a≠1)

定义域

(－∞，＋∞)

(0，＋∞)

值域

(0，＋∞)

(－∞，＋∞)

函数值变

化情况

a1时，；

0a1时，

a1时，logax；

0a1时，logax

图象必

过定点

点(0,1)

点(1,0)

单调性

a1时，y＝ax是增函数；

0a1时，y＝ax是减函数

a1时，y＝logax是增函数；

0a1时，y＝logax是减函数

图象

y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称

4．对数函数的变化特征

在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．

作出直线y＝1，分别与四个图象自左向右交于点A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)，得到底数的大小关系是：b＞a＞1＞d＞c＞0.根据直线x＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．

5．反函数的概念与记法

(1)反函数的概念

一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数，此时，称y＝f(x)存在反函数．

(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．

6．指数函数与对数函数的关系

(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数．

(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图像关于直线y＝x对称．

【夯实基础练】

1．(2022?天津市耀华中学高三第二次检测)设，，，则a，b，c的大小关系是()

A． B． C．D．

【解析】因为，，，所以，故选：A

【答案】A

2．(2022?天津市实验中学高三(下)第三次检测)设，，，则()

A． B．

C． D．

【解析】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故选：C

【答案】C

3．(2022?陕西省西安中学高三三模)已知，，，则()

A． B． C．D．

【解析】因为，，，所以.故选：D

【答案】D

4．(2022?山东省