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压轴专题10解析几何综合问题小题综合

一、单选题

1．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，设，由条件联立直线与椭圆方程，得到点的轨迹是圆，从而得到结果.

【详解】当椭圆的切线斜率存在时，设，且过与椭圆相切的直线方程为：，

联立直线与椭圆方程，

消去可得，

所以，

即，

设为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以，

所以，即，所以，

当椭圆的切线斜率不存在时，此时，，也满足上式，

所以，其轨迹是以为圆心，为半径的圆，

又因为A为椭圆上顶点，所以，

当点位于圆的上顶点时，，

当点位于圆的下顶点时，，

所以，

故选:D

2．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式.

【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得，

由椭圆和双曲线的定义得，解得.

代入，

得，

即，，

即，，因此，.

故选B.

【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

3．（2023·湖北·统考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.

【详解】

因为，所以∽，

设，则，设，则，．

因为平分，由角平分线定理可知，，

所以，所以，

由双曲线定义知，即，，①

又由得，

所以，即是等边三角形，

所以．

在中，由余弦定理知，

即，化简得，

把①代入上式得，所以离心率为．

故选：A．

4．（2023·广东·统考一模）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.

【详解】设，，

由，代入不等式中，

化简，得恒成立，

则有，

解得，而，所以

故选：A

【点睛】方法点睛：一般求双曲线的离心率的方法是：根据已知的等式或不等式，构造关于中任意两个量的双齐次方程或不等式，再结合双曲线的离心率大于1进行求解即可.

5．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．

【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：

由抛物线的定义知，

故，

所以，

即，

解得或（舍去），

故M的横坐标为，

设直线，

将代入，

得，

则，

解得，

故直线l的方程为．

故选：C．

【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．

6．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）直线l与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用，，成等差数列，列式求解即可

【详解】设直线，

联立，可得，则①

联立，可得，则②

因为，所以，所以③

因为，所以，所以，即得④

因为，所以中点为的中点，所以,

因为成等差数列，所以，又因为A，C，D，B从左到右依次排列，所以,

所以，代入①②③有，

因为且，又因为，则所以，所以，即

综上，

故选：D.

7．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（????）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】D

【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，根据椭圆离心率得到，故椭圆方程为，联立求出点坐标，从而由对称性得到点