专题16 平面向量（选填压轴题）（教师版）.docx

专题16平面向量（选填压轴题）

目录

TOC\o1-1\h\u①向量模问题（定值，最值，范围） 1

②向量数量积（定值，最值，范围） 12

③向量夹角（定值，最值，范围） 21

④向量的其它问题 27

①向量模问题（定值，最值，范围）

1．（2023春·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（????）．

A．2 B．4或 C．5 D．2或5

【答案】D

【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，

即，，两两的夹角为或,

当夹角为时，，

当夹角为时，

，

所以或.

故选：D．

2．（2023春·广西玉林·高一校联考期末）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】在中，由，为上一点，

且满足，则，

又由三点共线，则，即，

因为，

则，

则的值为.

故选：C.

3．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）已知非零向量，满足，，且，则的最小值为（????）

A． B．3 C． D．1

【答案】A

【详解】设，则，取的中点，

由，

即，

即，

即,

即，

所以，

而，

即，

所以要使最小，也最小，

显然，此时、、三点共线，

设，

则，，，

因为，

所以由余弦定理得，

即，

即，

由，即，

所以，

所以的最小值为.

故选：A.

4．（2023春·江西赣州·高二统考期中）已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则的最大值为（????）

A． B． C．2 D．2

【答案】D

【详解】因为，所以点在圆的内部或圆周上，

又动点满足，

所以当三点不重合时，点的轨迹是以为直径的圆，如图：

当点在圆内时，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，

则，

当点在圆上时，两点重合，两点重合，

所以，当且仅当点在圆上时取等号，

则，当且仅当三点共线时取等号，

因为，当且仅当重合时取等号，因为，所以，

所以，当且仅当时取等号，此时，

所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时取等号，

所以的最大值为，

故选：D.

5．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为（????）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【详解】向量,向量均为单位向量，

,.

如图，设.则是等边三角形.

向量满足与的夹角为,.

因为点在外且为定值,

所以的轨迹是两段圆弧,是弦AB所对的圆周角.

因此：当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|,

在中,由正弦定理可得:

.

取得最大值2.

故选：D

6．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，且，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由可知,，故，

如图建立坐标系，，，

设，由可得：

，

所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，

所以，几何意义为到距离的2倍，

由儿何意义可知，

故选：D.

7．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B为平面上两点，且，M为线段AB中点，其坐标为，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，所以，即以为直径的圆过点O，

因为M为线段AB中点，坐标为，，

则，

几何意义为圆M的半径与点M到直线的距离相等，

即圆M与直线相切，

则圆M的半径最小值为点到直线的距离的一半，

即.

故选：B

8．（2023·全国·高一专题练习）已知，，向量满足，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意，得：，即有，

如图示，设，

故不妨设，则，则，

设，则，因为，故可得，

所以C点在以AB为直径的圆上运动，

在中，,AB的中点为，

则以AB为直径的圆的方程为，

故的最大值为，最小值为，

即的取值范围是，

故选：B

9．（2023春·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）已知非零向量，，满足，，，则对任意实数t，的最小值为．

【答案】

【详解】因为，，则，而，于是，

又，则，作，使，如图，

??

由，得，即，令，则，

因此的终点在以点为圆心，2为半径的圆上，显然对，的终点的轨迹是线段确定的直线，

于是是圆上的点与直线上的点的距离，过作线段于，交圆于，

所以.

所以的最小值为.

故答案为：

10．（2023春·浙江金华·高二学业考试）已知向量，向量满足，则的最小值为．

【答案】

【详解】由向量数量积公式可得：

，

由基本不等式可得：，当仅当时等号成立，

所以，即，

所以，所以的最小值为．

故答案为：

11．（2023春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知平面向量，，