矩阵对策的基本定理.ppt

**推论在定理10中,若?1不是为纯策略?2,?,?m中之一所优超,而是为?2,?,?m的某个凸线性组合所优超,定理的结论仍然成立。提示定理10及其推论给出了一个化简赢得矩阵A的原则,称之为优超原则。根据这个原则,当局中人Ⅰ的某纯策略ai被其他纯策略或纯策略的凸线性组合所优超时,可在矩阵A中划去第i行而得到一个与原对策G等价但赢得矩阵阶数较小的对策G?,而G?的求解往往比G的求解容易些,通过求解G?而得到G的解。类似地,对局中人Ⅱ来说,可以在赢得矩阵A中划去被其他列或其他列的凸线性组合所优超的那些列。第32页,共33页，星期六，2024年，5月*感谢大家观看第33页,共33页，星期六，2024年，5月关于矩阵对策的基本定理**2.1矩阵对策的数学模型二人有限零和对策二人零和对策就是矩阵对策,是指只有两个参加对策的局中人,每个局中人都只有有限个策略可供选择。在任一局势下,两个局中人的赢得之和总是等于零,即双方的利益是激烈对抗的。矩阵对策的表示设局中人Ⅰ有m个纯策略?1,?2,?,?m,局中人Ⅱ有n个纯策略?1,?2,?,?n,则局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分别为

S1={?1,?2,?,?m}S2={?1,?2,?,?n}第2页,共33页，星期六，2024年，5月**当局中人Ⅰ选定纯策略?i和局中人Ⅱ选定纯策略?j后,就形成了一个纯局势(?i,?j)。这样的纯局势可构成m×n矩阵。对任一纯局势(?i,?j),记局中人Ⅰ的赢得值为aij,则称矩阵A=(aij)m?n为局中人I的赢得矩阵(或为局中人II的支付矩阵)，这样，局中人II的赢得矩阵即为–A。矩阵对策常记为：G={I,II;S1,S2;A}或G={S1,S2;A}第3页,共33页，星期六，2024年，5月**例齐王赛马的赢得矩阵第4页,共33页，星期六，2024年，5月**例6设有一矩阵对策G={S1,S2;A},其中S1={?1,?2,?3,?4},S2={β1,β2,β3}，局中人I的赢得矩阵为

试分析局中人I和II分别使用什么策略最有利？又在什么局势下对双方都有利？第5页,共33页，星期六，2024年，5月**定义1设G={S1,S2;A}为矩阵对策。其中S1={?1,?2,?,?m},S2={?1,?2,?,?n},A=(aij)m×n若成立以下等式

则称VG为对策G的值,并称使上述等式成立的纯局势(?i*,?j*)为G在纯策略下的解(或平衡局势),?i*与?j*分别称为局中人Ⅰ,Ⅱ的最优纯策略。第6页,共33页，星期六，2024年，5月**例7求解矩阵对策G={S1,S2;A},其中第7页,共33页，星期六，2024年，5月**定理1矩阵对策G={S1,S2;A}在纯策略意义下有解的充分必要条件是:存在纯局势(?i*,?j*)使得对一切i=1,?,m,j=1,?,n,均有

aij*≤ai*j*≤ai*j证明：第8页,共33页，星期六，2024年，5月**充分性（前提：对任意i,j有aij*?ai*j*?ai*j）由不等式左边知，j*列的任一元素不超过ai*j*，从而j*列的最大元也不超过ai*j*.即：同理对不等式右边，ai*j*不超过i*行的任一元素，从而ai*j*不超过i*行的最小元素，即有因此可得而对每列的最大元中的最小者及每行的最小元中的最大者有即：j*列的任一元素i*行的任一元素第9页,共33页，星期六，2024年，5月**另外，对任意i,j有，任意元素aij不小于其所在行的最小元，也不大于其所在列的最大元，即不等式左边又说明，矩阵中每一行的最小元都不超过aij，从而每一行的最小元中的最大者也不超过aij，即同理，由不等式的右边也可得从而有结合(1),(2)即可得第10页,共33页，星期六，2024年，5月**必要性假设有i*,j