人教A版数学(选择性必修三讲义)第14讲7.4.2超几何分布(学生版+解析).docxVIP

第07讲7.4.2超几何分布

课程标准

学习目标

①理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系。

②根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差。

③在实际问题中能用超几何概型解决实际问题。

通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题

知识点1：超几何分布

（1）超几何分布

一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，.

其中，，，，．

如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．

（2）对超几何分布的理解

①在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取.

②若随机变量满足：

试验是不放回地抽取次；

随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.

③超几何分布的特点：

不放回抽样；

考察对象分两类；

已知各类对象的个数；

从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数的概率分布列.

（3）超几何分布的均值

若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率).

【即学即练1】（2023·全国·高二课堂例题）一袋中装有50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数的数学期望．

【答案】1

【详解】袋中球的总数为，

根据题意可知，随机抽取的20个球中红球的个数服从超几何分布，

即．

因为，，，所以．

知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系

（1）区别

由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.

（2）联系

二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.

题型01对超几何分布的理解

【典例1】（2022上·高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：

①X表示取出的最大号码；

②X表示取出的最小号码；

③X表示取出的白球个数；

④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差.

这四种变量中服从超几何分布的是（）

A．①② B．③④

C．①②④ D．①②③④

【典例2】（多选）（2022上·高二课时练习）（多选题）下列随机变量X不服从超几何分布的是（）

A．X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数

B．X表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和

C．有一批产品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件数为X

D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X（N－M＞n＞0）

【典例3】（2023·高二课时练习）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．

(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列；

(2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列；

(3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列；

(4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列；

(5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列．

【变式1】（2023下·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（????）

A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为

B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为

C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为

D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为

【变式2】（2023下·高二课时练习）下列随机事件中