人教版高中数学选择性必修三 精讲精练第六章 计数原理 章末小结及测试（解析版）.docx

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第六章计数原理章末小结及测试

考法一排列数与组合数

【例1-1】（2024·辽宁沈阳）（多选）若，为正整数且，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】对A：，又，故A错误；

对B：

，

故B正确；

对C：，

，即，故C错误；

对D：，

，即，故D正确.故选：BD.

【例1-2】（2023辽宁沈阳·期末）（1）已知，计算：；

（2）解方程：．

【答案】（1）126；（2）．

【解析】（1）因为，则，解得，经验证符合题意，

所以

.

（2）由，得，

即，而由，知，解得，

所以原方程的解为.

考法二排队问题

【例2-1】（2023天津河东·阶段练习）有2名男生和3名女生，按下列要求各有多少种排法或选法，依题意列式作答：

(1)若选出3人当主持人，要求至少有1名男生，则有多少种不同的选法；

(2)若2名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法；

(3)若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；

(4)若2名男同学不站两端，共有多少种不同的排法；

(5)若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法.

【答案】(1)9(2)48(3)72(4)36(5)36

【解析】（1）选出3人当主持人有种情况，选出3人当主持人没有男生有种情况，

则至少有1名男生有种选法；

（2）若2名男同学必须相邻种排法，

则2名男生和3名女生其中2名男同学必须相邻共有种排法；

（3）2名男同学不相邻，先排3个女生种排法，有4个空排2名男生，

则2名男同学不相邻共有种排法；

（4）2名男生不站两端，可以选2名女生站两端有种情况，

则2名男同学不站两端共有种排法；

（5）2名男同学中间必须有1人，先选1名女生在2名男同学中间种排法,再排捆绑后的整体和其他人，

则2名男同学中间必须有1人共有种排法.

【例2-2】（2024全国·课时练习）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．

(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；

(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；

(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；

(4)全体排成一行，男、女各不相邻；

(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；

(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；

(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；

(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．

【答案】(1)2160；(2)3720；(3)720；(4)144；(5)1440；(6)840；(7)5040；(8)720.

【解析】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有种排法，其余6人全排列，有种排法，由乘法原理得共有（种）排法；

（2）解：位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法，但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）；

（3）解：捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法；

（4）解：插空法．先排男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有（种）排法；

（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法；

（6）解：定序排列．7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得，所以（种）；

（7）解：与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列，有（种）排法；

（8）解：从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有种排法，甲、乙互换位置，有种排法，甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排，有种排法，所以共有（种）排法．

考法三排数问题

【例3-1】（2024广东）用0、1、2、3、4五个数字．

(1)可组成多少个五位数？

(2)可组成多少个无重复数字的五位数？

(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？

(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？

(5)组成没有重复数字的五位数，将这些数字由小到大排列，42130是第几个数？

【答案】(1)2500(2)96(3)20(4)36(5)88

【解析】（1）各个数位上数字允许重复，首位上不能为0，故采用分步乘法计数原理，

有个．

（2）考虑特殊位置“万位”，从1、2、3、4中任选一个填入万位，共有4种填法，

其余四个位置，4个数字全排列，故共有个．

（3）构成3的倍数的三位数，其各个位上数字之和是3的倍数，

则由和，以及组成三位数，

由和组成的三位数有个，

由以及组成三位数有个，故共有个；

（4）考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有种填法，

然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有种填法，包含0在内还有3个数

在中间三个位置上全排列，