2024—2025学年北京市顺义区第一中学高三上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京市顺义区第一中学高三上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★)1.设集合，集合，则（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.若复数满足，则的共轭复数（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.已知角的终边经过点，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.在中，若，，，则的大小为（）

A．

B．

C．

D．或

(★★)7.设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★★)8.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（）

A．100m

B．112m

C．117m

D．132m

(★★)9.函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)10.已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（）

A．

B．

C．

D．无数

二、填空题

(★)11.函数的定义域是______.

(★★)12.首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______.

(★★)13.能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是___．

(★★★)14.如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为______.

(★★★★)15.如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．

给出下列四个结论：

①的最小值为；

②四面体的体积为；

③有且仅有一条直线与垂直；

④存在点，，使为等边三角形．

其中所有正确结论的序号是____．

三、解答题

(★★)16.已知函数．

(1)若，且，求的值；

(2)求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间．

(★★★)17.在中，已知，请从下列三个条件中选择两个，使得存在，并解答下列问题：

(1)求的大小；

(2)求和的值．

条件①：；条件②：；条件③：．

(★★★)18.某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

(1)从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；

(2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；

(3)如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（结论不要求证明）

(★★★)19.如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.

(★★★)20.已知函数.

（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值；

（2）当时，求证：；

（3）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围.

(★★★★★)21.已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”.

(1)已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，