压轴小题05 一文搞定平面向量疑难问题（学生版）.docx

压轴小题05一文搞定平面向量疑难问题

压轴秘籍

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1.平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

（1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．

（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

应用平面向量基本定理应注意的问题

只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．

利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.

形如条件的应用（“爪子定理”）

“爪”字型图及性质：

（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线

当，则与位于同侧，且位于与之间

当，则与位于两侧

时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上

（2）已知在线段上，且，则

3、中确定方法

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解

4.平面向量系数和

如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：

存在，使得

下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值

=1\*GB3①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得

而，所以，于是

=2\*GB3②若时，

（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则

，不妨设与的相似比为

由三点共线可知：存在使得：

所以

（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：

所以

于是

综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则(的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围

5.极化恒等式

恒等式右边有很直观的几何意义:

向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系

如图在平行四边形中,

则

在上述图形中设平行四边形对角线交于点,则对于三角形来说:

极化恒等式的适用条件

共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化

(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题

在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下

第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;

第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;

第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积

如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。

6.奔驰定理

如图，已知P为内一点，则有.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.

7.奔驰定理的证明

如图：延长与边相交于点

则

8.奔驰定理的推论及四心问题

推论是内的一点,且,则

有此定理可得三角形四心向量式

（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.

（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.

（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.

奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

已知点在内部，有以下四个推论：

①若为的重心，则；

②若为的外心，则；或

③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.

④若为的垂心，则，或

研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，