炎德.英才大联考湖南师范大学附属中学2024年高三下学期5月阶段检测试题数学试题.doc

炎德.英才大联考湖南师范大学附属中学2023年高三下学期5月阶段检测试题数学试题

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）

A． B．1 C． D．2

2．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）

A． B． C． D．

3．已知，，，则()

A． B． C． D．

4．等比数列的前项和为，若，，，，则（）

A． B． C． D．

5．已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（）

A． B． C． D．5

6．已知函数，若曲线上始终存在两点，，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

7．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（）

A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣85

8．已知，，则（）

A． B． C．3 D．4

9．设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（）

A． B．2 C． D．

10．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()

A． B． C．或－ D．和－

11．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）

A． B． C． D．

12．设函数的定义域为，命题：，的否定是（）

A．， B．，

C．， D．，

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_____．

14．已知函数的图象在处的切线斜率为，则______．

15．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_____

16．已知函数，若对于任意正实数，均存在以为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是_______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；

（2）设射线与曲线交于不同于极点的点，与曲线交于不同于极点的点，求线段的长．

19．（12分）已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为（为参数）．

（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；

（2）求直线l被圆截得的弦长．

20．（12分）在直角坐标系中，已知圆，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长.

（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；

（2）过原点作两条互相垂直的直线，其中与圆M交于O，A两点，与圆M交于O，B两点，求面积的最大值.

21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值．

22．（10分）设等比数列的前项和为，若

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）在和之间插入个实数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D

【解析】

如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.

【详解】

如图所示建立直角坐标系，则，，，设，

则

.

当，即时等号成立.

故选：.

【点睛】

本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.

2．B

【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半