人教A版数学(选择性必修一讲义)第29讲3.2.2双曲线的简单几何性质(学生版+解析).docxVIP

第04讲3.2.2双曲线的简单几何性质

课程标准

学习目标

①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围。

②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题。

通过本节课的学习，要求掌握双曲线的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用双曲线的几何性质解决与双曲线有关的点、弦、周长、面积等问题

知识点01：双曲线的简单几何性质

标准方程

（）

（）

图形

性质

范围

或

或

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点坐标

，

,

渐近线

离心率

，，

a，b，c间的关系

【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】因为双曲线方程为，

化为标准方程为：，所以，

由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.

故选：C.

知识点02：等轴双曲线

（，）当时称双曲线为等轴双曲线

①；②离心率；③两渐近线互相垂直，分别为；

④等轴双曲线的方程，；

【即学即练2】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为

【答案】

【详解】设所求双曲线方程为：，

双曲线经过点，，

所求双曲线方程为：.

故答案为：.

知识点03：直线与双曲线的位置关系

1、代数法：设直线，双曲线联立解得：

（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；

，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；

（2）时，

存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若，

时，，直线与双曲线相交于两点；

时，，直线与双曲线相离，没有交点；

时，直线与双曲线有一个交点；相切

不存在，时，直线与双曲线没有交点；

直线与双曲线相交于两点；

【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线上支的交点个数为．

【答案】2

【详解】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．

故答案为：2

知识点04：弦长公式

1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则

为直线斜率

2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.

【即学即练4】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为．

【答案】

【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，

所以．

故答案为：

知识点05：双曲线与渐近线的关系

1、若双曲线方程为渐近线方程：

2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：

3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，

4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）

【即学即练5】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】设双曲线的方程为，

因为，所以，则，

所以渐近线方程为.

故选：C.

知识点06：双曲线中点弦的斜率公式

设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有

证明：设，，则有，两式相减得：

整理得：，即，因为是弦的中点，

所以：，所以

【即学即练6】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：设，则，

两式相减得直线的斜率为，

又直线过点，

所以直线的方程为，

经检验此时与双曲线有两个交点.

故选：A

题型01由双曲线的方程求几何性质

【典例1】（多选）（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（????）

A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线

C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点

【典例2】（多选）（2023春·福建三明·高二校联考开学考试）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（????）

A．焦距 B．顶点坐标

C．离心率 D．渐近线方程

【变式1】（多选）（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知双曲线，则（????）

A．实轴长为1 B．虚轴长为2

C．离心率 D．渐近线方程为

【变式2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线，下列结论正确的是（????）

A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为

C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为

题型02根据双曲线几何性质求其标准方程

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（????）

A． B． C． D．

【典例2】（