《2 自主数学建模的开题交流》（同步训练）高中数学必修_北师大版_2024-2025学年.docxVIP

《2自主数学建模的开题交流》同步训练(答案在后面)

一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1、已知某城市人口在2020年初为100万人，如果该城市的人口自然增长率保持每年增长1%，同时由于外来人口迁入等因素，每年净增加人口数为5000人。请问到2030年底，该城市的人口大约是多少？（假设没有人口迁出）

A.116.1万

B.120.5万

C.124.9万

D.128.3万

2、在下列四个选项中，能正确表示函数f(x)=x2-2x+1的图像的函数是（）

A.y=(x-1)2

B.y=(x+1)2

C.y=(x-1)3

D.y=(x+1)3

3、某工厂计划生产一批零件，每个零件生产时间服从正态分布，均值为30分钟，标准差为5分钟。若要求生产两个零件的总时间在65分钟内的概率，则该概率为（）

A.0.5328

B.0.8531

C.0.9772

D.0.9987

4、在数学建模中，下列哪个步骤不属于模型建立后的步骤（）

A、检验模型的适用性和准确性

B、模型求解

C、模型求解过程中的数值计算

D、收集和整理实际问题中的相关数据

5、某学校组织了一次关于环保的数学建模比赛，参赛队伍需要收集数据来支持他们的模型。假设一个小组计划研究塑料袋对环境的影响，他们决定调查不同社区的塑料袋使用量。如果该小组在第一个社区发现平均每个家庭每周使用3个塑料袋，在第二个社区这一数字为5个，而在第三个社区则为2个。假设这三个社区的家庭数量分别为100户、150户和200户，那么这三社区平均每个家庭每周使用多少个塑料袋？

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

6、在解决数学建模问题时，以下哪个步骤是首要的？

A.收集数据

B.建立模型

C.选择合适的数学方法

D.解答模型

7、某学生小组计划通过自主数学建模来研究一个实际问题。他们选择了如何优化本地公园的座位布局来提高公园的使用效率。在构建模型的过程中，他们需要首先确定公园的特定区域的几何形状，以便于后续的计算。以下哪个形状最适合作为该区域的模型？

A.正方形

B.圆形

C.长方形

D.不规则多边形

8、某市为了加强城市绿化建设，计划在一条长100米的街道两侧种植树木。若每隔5米种一棵树，且两端也各植一棵树，问这条街道上一共可以种植多少棵树？

20棵

21棵

40棵

42棵

二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）

1、以下哪些数学模型属于离散型随机变量模型？

A.抛掷硬币的次数及正面朝上的概率

B.某班级学生身高分布

C.一年四季的降雨量

D.某城市某一天的气温

2、在数学建模过程中，下列哪些环节是必不可少的步骤？

A、问题识别

B、假设设定

C、数据收集

D、模型构建

E、模型求解

F、模型验证

3、已知函数fx=2x?

A.当x=4时，

B.函数fx的值域为

C.当x3

D.函数fx

三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

1、已知某商品的成本函数为Cx=50+3x，其中x表示生产数量，若该商品的售价为每件

2、若函数fx=x2

3、如果在一个三角形ABC中，∠A=60°，BC=2，则根据余弦定理，边AC的长度为____。

四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）

第一题

题目：设直线y=kx+b与曲线x2?y2=1相交于点A

第二题

题目描述：

假设某城市有两家电影院A和B，两家电影院的票价分别为50元和60元。已知电影院A的座位数为300个，电影院B的座位数为400个。根据市场调研发现，当票价相同时，观众更倾向于选择电影院B；而当票价相差较大时，观众则会考虑价格因素选择电影院A。为了吸引更多的观众，电影院A决定调整票价，并预计每降低1元，可以额外吸引10名观众；电影院B则保持票价不变。假设两家电影院的上座率不会超过100%，求解电影院A票价调整到多少时，可以使自己的收入最大化？并计算此时的最大收入。

第三题

题目：某城市计划修建一条高速公路，已知该高速公路的起点A到终点B的直线距离为100公里。城市规划部门希望在A、B两点之间选取一个合适的地点C，使得从A到C和从C到B的路段长度相等，即AC=CB=50公里。为了使高速公路的路线更加经济合理，规划部门希望最小化C点到A、B两点的直线距离之和，即最小化AC+BC。

（1）建立数学模型，并说明模型中各个变量的含义。

（2）利用数学软件或计算工具，求解最优解，并给出C点的具体坐标。

（3）分析最优解的实际意义，并讨论在实际施工中可能遇到的困难和解决方案。

第四题

题目：

某市计划建设一座新的体育中心，需要规划一个标准足球场和多个小型训练场地。根据城