2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题[含答案].docx

2024?2025学年高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

2．曲线与曲线一定成立的是（????）

A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等

3．“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（????）

A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件

4．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（????）

A． B．2 C．6 D．8

5．圆与圆的公切条数为（????）

A．2条 B．1条 C．3条 D．4条

6．已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

7．已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（????）

A． B． C． D．

8．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知双曲线，则（????）

A．实轴长为2

B．离心率为

C．两渐近线夹角的正切值不存在

D．直线与曲线有且仅有一个公共点，则

10．已知直线的方程，则（????）

A．恒过定点

B．存在实数使直线在坐标轴上截距互为相反数

C．直线的斜率一定存在

D．点到直线的距离最大值为

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，则（????）

A．与有相同离心率的椭圆标准方程一定是

B．过的直线与椭圆交于两点，则

C．设，点是椭圆上任意点，则有最大值无最小值

D．设圆，圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直

三、填空题（本大题共3小题）

12．设方程表示椭圆，则实数的取值范围是．

13．设集合，，若，则实数．

14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知定点，动点到定点距离之比为．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点作的切线，切点为，求所在直线方程．

16．已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程．

17．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上），

(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；

(2)若，，求的面积．

18．设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．

19．已知椭圆，左焦点.

(1)设直线与椭圆交于，点是椭圆上任意一点，证明：；

(2)过做两条互相垂直的直线、，交椭圆于、，交椭圆于、，

（ⅰ）记四边形面积为，求的取值范围；

（ⅱ）设的中点为的中点为，直线与直线交于，证明．

参考答案

1．【答案】B

【详解】直线方程可整理为，即，

所以直线的斜率，

设倾斜角为，则，因为，所以.

故选：B.

2．【答案】B

【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，

其中，

所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率，

因为，所以，

曲线表示焦点在x轴上的椭圆，

其中，，，

所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率

故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对；

故选：B

3．【答案】D

【详解】“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”“为常数”；

反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆．

因此“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件．

故选：D．

4．【答案】C

【详解】由方程可知，，即，

所以，解得，所以.

故选：C

5．【答案】A

【详解】由是以为圆心，3为半径的圆.，

转换为，

即该圆是以为圆心，4为半径的圆.

所以圆心距，

所以

所以两圆相交，故公切线的条数为2，

故选：A

6．【答案】D

【分析】

先求出直线过的定点，要想直线和椭圆总有公共点，只需定点在椭圆上或内部，

因为定点为，所以直接跟短半轴b比较即可

【详解】

由题意，直线恒过定点，要使直线与椭圆总有公共点，则只需点在椭圆上或椭圆内，则．又焦点在轴上，所以，所以．

故选：D．

7．【答案】B

【分析】根据椭圆的性质求出的范围，代入即可求出离心率的取值范围.

【详解】设点，

，因为，

所以，即，

结合可得，所以.

故选：B.

8．【答案】B

【详解】设，令，则，

过双曲线的右焦点作直线与双曲线