吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测（一）数学 含答案.docx

吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测（一）数学试卷

本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回．

注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．

2.答题时请按要求用笔．

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是

A.1 B.2 C.3 D.6

2.已知向量，若，则

A.2 B.3 C.6 D.15

3.已知，则的值为

A.-2 B.2 C.-3 D.3

4.某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（）秒

A.15 B.16 C.18 D.20

5.正四面体ABCD中，，则异面直线PQ与BD所成角的正弦值为

A. B. C. D.

6.直线与直线所成角是

A. B. C. D.

7.为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样．如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为

A.5 B.4 C.3 D.2

8.已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.函数的最小正周期为，则

A.是的一条对称轴 B.与函数相等

C.在区间上单调递减 D.在区间上的取值范围是

10.已知等比数列的公比为，且，设该等比数列的前项和为，前项积为，下列选项正确的是

A. B.当时，为递增数列

C.单调递增的充要条件为 D.当时，满足的的最小值为9

11.2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于定值的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列关于双纽线的说法正确的是

A.的最大值为 B.双纽线是中心对称图形 C. D.到距离之和的最小值为2c

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则______.

13.已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于点的对称点为.若过三点的圆的半径为，则的离心率为______.

14.若，则______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数在处的切线平行于轴.

（1）求与的关系；

（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.

16.（15分）在中，内角A，B，C的对边分别是的面积记为，已知.

（1）求：

（2）若BC边上的中线长为1，AD为角的平分线，求CD的长.

17.（15分）如图，在平行六面体中，.

（1）求证：直线平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

18.（17分）某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性（患病），小于或等于的人判定为阴性（未患病）．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率．

（1）随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为误判与性别有关？

（2）经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表：

指标

[95,100]

（100,105]

（105,110]

（110,115]

（115,120]

（120,125]

（125,130]

患病者频率

0.01

0.06

0.17

0.18

0.2

0.2

0.18

指标

[70,75]

未患病者频率

0.19

0.2

0.2

0.18

0.17

0.05

0.01

假设