2.6 直角三角形（5大题型提分练）（解析版）_1.docx

八年级上册数学第2章《特殊三角形》

2.6直角三角形

知识点一

知识点一

直角三角形的两锐角互余的性质

★1、直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作Rt△ABC．

★2、直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.

几何语言：在△ABC?中，∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠C=90°.

知识点二直角三角形斜边上的中线的性质

知识点二

直角三角形斜边上的中线的性质

★1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

几何语言：∵在Rt△ABC中，点O是AB的中点，

∴OB=AO=CO=AC.

【拓展】（1）直角三角形斜边上的性质定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形.

（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.

★2、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半都是证明线段倍分关系的重要依据．“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.

知识点三

知识点三

直角三角形的判定

★直角三角形的判定方法：

方法

文字叙述

几何语言

图示

定义法

有一个角是直角的三角形是直角三角形.

在△ABC中，∵∠B=90°?,?

∴△ABC是直角三角形.

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判定定理

有两个角互余的三角形是直角三角形.

在△ABC?中，?

∵∠A+∠C=90°，?

∴△ABC是直角三角形.

题型一直接利用直角三角形的性质求角度

解题技巧提炼

直角三角形的性质：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.如果其中有一个锐角是45°，那么另外一个锐角也是45°，这个三角形就是等腰直角三角形.

1．（2024春?静安区校级期中）直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为度．

【分析】根据直角三角形两个锐角互余得出∠A+∠C＝2∠C+∠C＝90°，即可解答．

【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠A＝2∠C，

∴∠A+∠C＝2∠C+∠C＝90°，

解得：∠C＝30°，

故答案为：30．

【点评】本题考查了三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，直角三角形两个锐角互余．

2．（2024春?瓯海区校级期末）如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C，交斜边AB于点D；直尺的另一边缘分别交AB、AC于点E、F，若∠B＝30°，∠AFE＝70°，则∠DCB＝度．

【分析】先利用平行线的性质求出∠EDC，再利用平角的定义求出∠BDC，最后根据三角形内角和定理求出∠DCB即可．

【解答】解：∵EF∥CD，∠AEF＝50°，

∴∠EDC＝∠AEF＝50°，

∵∠BDC+∠EDC＝180°，

∴∠BDC＝180°﹣50°＝130°，

∵∠B＝30°，

∴∠DCB＝180°﹣∠B﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣130°＝20°．

故答案为：20．

【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

3．（2023?南昌开学）一个直角三角形中，两个锐角度数的比是3：2，这两个锐角分别是．

【分析】设两个锐角为2x°，3x°，根据直角三角形两个锐角互为余角列方程，可求出两角．

【解答】解：设两角为2x°，3x°，根据题意得：

2x+3x＝90，

x＝18，

2x＝36，3x＝54．

所以两锐角为54°，36°．

故答案为：54°，36°．

【点评】本题考查了直角三角形两锐角互为余角，一元一次方程的应用，关键是找到两角的互余关系．

4．（2023春?蒙山县期中）在直角三角形中，两个锐角的度数比为1：5，则较大的锐角度数为．

【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案．

【解答】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x，

则x+5x＝90°，

解得：x＝15°，

则较大的一个锐角为15°×5＝75°，

故答案为：75°．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

5．（2023秋?哈巴河县校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠DAB＝40°，∠C＝20°．则∠CAD的度数．

【分析】由直角三角形的性质求出∠ADB＝50°，由三角形外角的性质即可得