《数学（下册）（第二版）》 课件 第４章　积分及应用.pptx

积分及应用;目录;教学要求：

1.理解定积分的概念及性质，能正确使用有关术语及符号.

2.了解导数（或微分）与积分的联系，理解原函数的概念，知道积分上限函数f（t）dt可导时，就是f（x）在［a，b］上的一个原函数.

3.掌握微积分学基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）.

4.理解不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式.

5.熟练掌握第一换元积分法.

6.掌握第二换元积分法（仅限于简单的根式代换和三角代换）.

7.熟练掌握不定积分的分部积分法.;8.会查简易积分表.

9.掌握用微元法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力.

10.掌握用定积分求平面图形的面积，能用定积分求绕坐标轴旋转生成的旋转体体积.

11.了解定积分在其他方面的一些应用.

12.了解广义积分的概念和计算方法.;4.１积分的基本概念;定积分的概念及性质

定积分的定义

要计算的量（曲边梯形的面积A及变速直线运动的路程s）的实际意义不同（前者是几何量，后者是物理量），但解决的方法是相同的，都归结为求一个和式的极限．

在科学技术上有许多实际问题都可以归结为某种特定的和式极限．为此，我们给出如下定积分的定义：;163;利用定积分的定义，实例考察中的两个问题可以表述如下．

若f（x）≥0，由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A等于曲边函数f（x）在其底所在的区间[a，b]上的定积分，即

变速直线运动的物体从时刻T1到时刻T2这段时间内所经过的路程s等于其速度函数v＝v（t）在时间区间[T1，T2]上的定积分，即;165;定积分的几何意义

我们已经知道，如果函数y＝f（x）在[a，b]上连续，且f（x）≥0，则定积分f（x）dx在几何上表示由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A，即

如果函数y＝f（x）在[a，b]上连续，且f（x）≤0，此时由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分f（x）dx在几何上表示曲边梯形面积A的相反数，即;167;如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，且f（x）有时为正，有时为负，则定积分f（x）dx在几何上表示曲线y＝f（x），直线x???a，x＝b及x轴所围成的几块曲边梯形中，在x轴上方的各曲边梯形面积之和，减去在x轴下方的各曲边梯形面积之和．

总之，定积分f（x）dx在各种实际问题中所代表的实际意义虽然不同，但它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示，这就是定积分的几何意义．;定积分的几何意义直观地告诉我们，如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，那么，由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的各部分面积的代数和是一定存在的，即f（x）在区间[a，b]上一定是可积的．另一种情形，当函数f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点时，f（x）在区间[a，b]上也一定是可积的．为此，我们有下面两个定积分存在定理：

定理1设函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积．

定理2设函数f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a，b]上可积．;定积分的性质

在下面的讨论中，各性质中积分上下限的大小，如无特别说明，均不加限制，并假设各函数在积分区间上都是可积的．

性质1如果在区间[a，b]上，f（x）恒等于1，则

性质1的几何解释如图所示．

性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外，即

其中k为常数．;性质3两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即

这是因为

性质3对于有限个可积函数代数和的定积分也是成立的．;性质4如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a＜c＜b，则

如图所示，性质4说明定积分对积分区间具有可加性．这个性质可以用来求分段函数的定积分．

另外需要说明的是，如果a，b，c是任意三个实数，性质4同样成立．;利用性质4和定积分的几何意义，可以看出奇函数和偶函数在对称于原点的区间（简称对称区间）上的定积分有以下计算公式：

（1）如果f（x）在[－a，a]上连续且为奇函数，则

（2）如果f（x）在[－a，a]上连续且为偶函数，则

性质5如果在区间[a，b]上，f（x）≤g（x），则

性质5可以用来比较两个定积分的大小．;性质6（定积分估值定理）设M与m分别是f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值，则

如图所示，性质6可用来估计定积分值的大致范围．;性质7（定积分中值定理）如果f（x）在[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存