专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）（解析版）_1.docx

专题03二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）

题型一求抛物线与x轴的交点坐标

题型二求抛物线与y轴的交点坐标

题型三已知二次函数的函数值求自变量的值

题型四图象法确定一元二次方程的近似根

题型五抛物线与x轴的交点问题

题型六根据二次函数图象确定相应方程根的情况

题型七求x轴与抛物线的截线长

题型八直线与抛物线相切情况的问题

题型九二次函数与一元二次方程问题综合

【知识点1二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】

根的判别式

二次函数的图象

二次函数与x轴的交点坐标

一元二次方程根的情况

△＞0

抛物线与x轴交于，两点，且，

此时称抛物线与x轴相交

一元二次方程

有两个不相等的实数根

△＝0

抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切

一元二次方程

有两个相等的实数根

△＜0

抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离

一元二次方程

在实数范围内无解（或称无实数根）

【知识点2求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】

（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；

（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；

（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．

【经典例题一求抛物线与x轴的交点坐标】

【例1】（2024·河北石家庄·二模）已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（????）

A． B．

C．或 D．

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，先根据二次函数，该二次函数的对称轴为，求出，根据函数图象与轴其中一个交点为，求出，令新的二次函数解析式为：，求出当时，，当时，，根据一元二次方程在范围内只有一个解，得出当时和当时，y的值异号，求出，然后验证当时，当时，是否符合题意，最后验证当一元二次方程，即只有一个解时，k的值是否符合题意，即可得出答案．

【详解】解：∵二次函数，该二次函数的对称轴为，

∴，

解得：，

∵函数图象与轴其中一个交点为，

∴，

解得：，

令新的二次函数解析式为：，

把，代入得：，

当时，，

当时，，

∵一元二次方程在范围内只有一个解，

∴当时和当时，y的值异号，

∴，

解得：，

当，方程的解为或，不符合题意；

当，方程的解为或，在范围内只有一个解，符合题意；

当一元二次方程，即只有一个解时，

，

解得：，

且当时，方程的解为，在范围内；

综上分析可知：一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是或．

故选：C．

1．（2024·四川达州·一模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N.若，则b的值为（????）

A． B．3或 C． D．或3

【答案】D

【分析】先求出函数与x轴交于，与y轴交于点，再将代入中得出，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，得到，结合得出，代入即可得到答案．

【详解】解：在函数中，

当时，，

当时，，解得：，

函数与x轴交于，与y轴交于点，

其轴点函数经过点，

，；

，即，

其轴点函数与x轴的另一交点为，

，即，

，

，

，

，

，

当时，，

当时，

或3，

故选：D．

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与坐标轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系等知识点，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键．

2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是．

【答案】或0

【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．

由题意知，分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．

【详解】解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，

∴分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；

①当二次函数的图象与轴有1个公共点时，，

解得；

②当二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，，

∴，与轴有2个公共点，为或，

综上所述，b的值为或0，

故答案为：或0．

3．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数）．

(1)求证：该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；

(2)设该函数图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m的值