专题05 正多边形重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优）（解析版）_1.docx

专题05正多边形重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优）

题型一求正多边形的中心角

题型二求正多边形的边数

题型三根据正多边形与圆的关系求角度

题型四根据正多边形与圆的关系求周长

题型五根据正多边形与圆的关系求面积

题型六根据正多边形与圆的关系求边心距

题型七正多边形与圆中的最值

题型八尺规作图—正多边形

题型九正多边形与圆中的规律性问题

题型十多边形与圆中的证明

题型十一正多边形与圆的综合

知识点一、正多边形与圆

（一）正多边形及有关概念

（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。

（2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。

（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。

（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。

（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。

（二）正多边形的有关计算

（1）正边形的每个内角都等于

（2）正边形的每个中心角都等于

（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，

设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形

的周长面积

【经典例题一求正多边形的中心角】

【例1】（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数．

【详解】解：根据题意，得，

解得，

∴这个正n边形的中心角为，

故选：D．

1．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．

【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为，

则，

∴，

∴，

故选：C．

2．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，如图，这个剪纸图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角可以为度（写出一个即可）．

【答案】60

【分析】本题主要考查正多边形的性质，能够熟练计算正多边形的中心角是解题关键．正六边形是中心对称图形也是轴对称图形，中心角是，故而只要旋转角度是的整数倍即可．

【详解】解：正六边形的中心角是，

∴．

故答案为：60．

3．（22-23九年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，为边上的中线，以点为顶点的直角绕点旋转，两边分别与交于点，连接．

??????

(1)求证：；

(2)若，则面积的最小值为_______；

(3)拓展应用：如图②，点是半径为2的正十二边形的中心，点在此正十二边形的边上，连接，若，则阴影部分面积为______．

【答案】(1)见解析

(2)1

(3)3

【分析】（1）根据为边上的中线，可得即可证明；

（2）先证明，可知当时，面积最小，根据此时是等腰直角三角形求出，即可求解；

（3）将正十二边形进行分割证明，可得阴影面积倍的面积，即可求解．

【详解】（1）证明：在Rt中，，

，

，

，

为边上的中线，

，，，

，

，

；

（2）解：∵，

∴

∵，

∴当最短时，面积最小，

根据垂线段最短，即，面积最小，如图，

??

∵，

∴是等腰直角三角形，，

∴

∵为边上的中线，

∴，

∴

解得：，即

∴，

∴面积的最小值为1；

（3）作辅助线如图所示，其中，

??

由正十二变形的性质可得：

又∵

∴，

即

∵，

∴，

∴

∴，

∵，，

∴

∵，

∴阴影面积；

【点睛】本题考查了几何问题，涉及到平行截线成比例线段、全等三角形的判定与性质等，掌握分割法是关键．

【经典例题二求正多边形的边数】

【例2】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键．

【详解】解：连接，，

∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，

∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，

∵，

∴，

∴这个正多边形的边数，

故选：．

1．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C